7. Функции комплексного переменного / m7var10
.pdfВариант 10
Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):
|
|
|
|
+ i i+2 |
||
а) cos(2 − 2i); |
б) |
3 |
||||
ln |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Решение. а). По формуле тригонометрии cos(2-2i)=cos2·cos(2i)+sin2·sin(2i). Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями: cos(2i)=ch2; sin(2i)= ish2. Получим cos(2-2i)=cos2·ch2+ i·sin2·sh2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ i i+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i+2)Ln( |
|
3+i |
) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
б). Воспользуемся формулой |
|
|
|
|
|
= e |
2 |
|
. Получим: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(i + 2)Ln( |
|
|
3 + i |
) = (i + 2) [ln |
|
3 + i |
+ i(π + 2kπ)] = −(π + 2kπ) + i(π + 4kπ) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ i i+2 |
|
−( |
π |
+2kπ)+i( |
π |
+4kπ) |
|
|
π |
|
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ln |
|
|
|
|
|
= Ln e 6 |
3 |
|
|
|
|
= −( |
|
+ 2kπ) + i( |
+ 4kπ + 2mπ) = −( |
+ 2kπ) + i( |
|
+ 2nπ) , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
4 |
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где обозначено n=2k+m (k, m, n – целые чмсла.
|
|
|
+ i i+2 |
π |
|
π |
|
||
|
3 |
|
|
||||||
Ответ. а) cos(2-2i)=cos2·ch2+ i·sin2·sh2; б) |
Ln |
|
|
|
|
= −( |
+ 2kπ) + i( |
|
+ 2nπ) . |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
4 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж.
0 < Re(2iz) <1.
Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид: 0 < Re(2i(x + iy)) <1.
Или 0 < Re(−2y + 2ix) <1. Из этого следует, что 0 < −2y <1. Левое неравенство означает, что
|
y<0, а правое – что y>-1/2. Объединяя последние |
|||||
y |
неравенства, можно записать: − |
1 |
< y < 0. |
|||
|
||||||
|
2 |
|
|
|
||
|
x |
|||||
|
Ответ. Данное соотношение определяет область, |
|||||
|
заключённую между прямыми y=0 и y = − |
1 |
. |
|||
y=-1/2 |
||||||
|
||||||
|
2 |
|
||||
|
Задача 3. Решить уравнение: ch z + sh z = 2i. |
Решение. Перейдём от синуса гиперболического к косинусу гиперболическому по формуле sh2z=ch2z+1, получим ch z + ch2z +1 = 2i. Перенесём chz в правую часть и возведём обе части равенства в квадрат. Получим: ch2z + 1= −4 − 4ich z + ch2 z или
5 = −4ich z. Тогда ch z = 5i . Воспользуемся формулой Arch w = Ln(w + w2 + 1) . В данном
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5i |
|
|
|
|
|
|
|
|
5i |
|
|
|
|
||
|
|
5i |
|
|
25 |
|
|
|
3i |
= Ln(2i). |
||||||
случае |
z = Arch |
|
|
= Ln |
|
+ |
− |
|
+ 1 |
|
= Ln |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
16 |
|
|
4 |
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее воспользуемся формулой Ln v = ln v + i(ϕ + 2kπ) . Получим:
z = ln 2 + i(π + 2kπ). 2
Ответ. z = ln 2 + i(π + 2kπ). 2
Задача 4. Доказать тождество. cos(z + π) = − cos z .
Решение. Рассмотрим левую часть равенства:
cos(z + π) = cos(x + iy + π) = cos(x + π)cos(iy) − sin(x + π)sin(iy) . По формулам приведения cos(x + π) = − cos x, sin(x + π) = − sin x. Следовательно,
cos(z + π) = − cos x cos(iy) + sin x sin(iy) = −[cos x cos(iy) − sin x sin(iy)] = − cos(x + iy) = − cos z , что и требовалось доказать.
Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной мнимой части её:
Im(z) = v = x2 − y2 − 2xy + y , если f(i)=0.
Решение. Чтобы функция v(x,y) бала мнимой частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆v был бы равен нулю: ∆v=0,
≡ |
∂2 |
+ |
∂2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные |
||||||||||||||
∂x2 |
∂y |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
второго порядка от v по x и по y: |
∂v |
= 2x |
− 2y, |
∂2v |
= 2, |
∂v |
= −2y |
− 2x |
+1, |
∂2v |
= −2. |
||||||
∂x |
∂x2 |
∂y |
∂y2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, функция v(x, y) = x2 − y2 − 2xy + y является гармонической. Восстановим действительную часть u(x,y) функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-
Эйлера: |
∂u = |
∂v , |
∂u = − |
∂v |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂x |
∂y |
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
Из первого условия получаем: |
∂v = |
∂u = −2y − 2x + 1. Тогда |
u(x, y) = ∫ |
∂udx + ϕ(y) , или |
|||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂x |
|
∂x |
u(x, y) = −∫(2x + 2y −1))dx + ϕ(y) = −x2 − 2xy + x + ϕ(y). Производная по y от этого выражения
равна ∂u = −2x + ϕ′(y). С другой стороны по второму условию Даламбера-Эйлера
∂y
∂u = − ∂v = −2x + 2y. Приравнивая эти выражения, получим: − 2x + ϕ′(y) = −2x + 2y. Отсюда
∂y ∂x
ϕ′(y) = 2y. Или ϕ(y) = y2 + C. Таким образом, u(x, y) = −x2 − 2xy + y2 + C. Тогда f (z) = x + y2 − x2 − 2xy + C + i (x2 − y2 − 2xy + y). Перейдём к переменной z:
f (z) = −(x2 + 2ixy − y2 ) + i(x2 + 2ixy − y2 ) + x + iy + C = z2 (i −1) + z + C .
Воспользуемся дополнительным условием f(i)=0. В данном случае f(i)=1+C. Т.е. C=-1. Ответ. f(z) = z2 (i −1) + z + −1= x + y2 − x2 − 2xy −1+ i (x2 − y2 − 2xy + y).
Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1 |
до точки z2. |
|||
∫Re |
|
dz; |
C: y = x2 , z1 = 0, |
z2 =1+ i. |
z |
||||
C |
|
|
Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле ∫f (z)dz = ∫udx − vdy + i∫udy + vdx . В данном случае f(z)=x. Следовательно,
C C C
∫Re z)dz = ∫xdx + i∫xdy . Примем x за параметр. Тогда y=x2, dy=2xdx. Начальной точке z1=0
CC C
соответствует значение x=0, конечной |
z2=1+i – значение x=1. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Следовательно, ∫Re |
z |
dz = ∫xdx + 2i∫x2dx = [ |
|
+ 2i |
|
|
|
= |
+ |
i |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
C |
0 |
0 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ. ∫Re |
|
dz = |
1 |
+ |
2 |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i
Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. ∫(z + i) ez dz .
−1
Решение. Применим формулу интегрирования по частям:
i |
|
u = z + i |
du = dz |
|
|
i |
i |
i |
|
||||
∫(z +1) ez dz = |
= (z |
+ i) ez |
− ∫ez dz = 2i ei − (−1+ i) e−1 − ez |
= |
|||||||||
dv = e |
z |
dz |
v = e |
z |
−1 |
1 |
|||||||
−1 |
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2i ei |
+ (1− i) e−1 − ei + e−1 = (2i −1)(cos1+ isin1) + (2 − i)e−1 = |
|
|
||||||||||
= 2 e−1 − 2sin1− cos1+ i (2cos1− sin1− e−1) |
|
|
|
|
|||||||||
Здесь учтено, что ei |
= cos1+ isin1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
∫(z + i) ei dz = 2 e−1 − 2sin1− cos1+ i (2cos1− sin1− e−1) . |
|
|
||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по контурам L1, L2,
L3. |
ezdz |
|
|
3 |
|
=1, 2) L2 |
:4x2 + |
y2 |
=1, 3) L3 |
|
|
z + i |
|
= |
3 |
|
|||
, 1) L1 |
: |
|
z − |
|
: |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
L∫ |
(z − i)2 (z + i / 2) |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Решение. 1). Подынтегральная функция аналитична всюду, за исключением точек z=i и
z=-i/2. В круге
y
L2
L3
z − 3 ≤1 2
L1
2
подынтегральная функция аналитична. Следовательно,
I |
|
= |
|
|
ezdz |
= 0 . 2). В эллипсе |
x2 |
+ y2 ≤1 есть две |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
L∫ (z − i)2 (z + i / 2) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
особые точки: z=i и z=-i/2. Поэтому применим теорему |
||||||||||||||
Коши для многосвязной области: |
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
2 = |
|
|
ezdz |
= |
|
ezdz |
+ |
|
|
ezdz |
, где l1 |
||
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
L∫2 (z− i) |
2 (z + i / 2) |
l∫ (z− i) |
2 (z + i / 2) |
l∫ |
(z− i)2 (z + i / 2) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
- окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z=i, а l2 - окружность малого радиуса с центром в точке z=-i/2. Вычислим оба интеграла по интегральной формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ezdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(z+ i / 2) |
|
|
|
|
= 2πi |
|
d |
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
(z− i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ (z− i)2 (z + i / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
(z + i / 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|||||
= 2πi |
ez |
(z + i / 2) |
− ez |
|
|
= − |
|
8πi |
ei ( |
3 |
−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(z + i / 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
|
|
ezdz |
|
= |
∫ |
(z− i) |
2 |
= 2πi |
|
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
= − |
8πi |
e |
− |
i |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(z− i) |
2 |
|
|
|
|
|
(z+ i / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
l2 |
|
|
(z + i / 2) |
l1 |
|
|
|
|
|
|
|
(z − i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=−i / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ezdz |
|
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8πi |
|
|
− |
i |
|
|
|
4π |
|
|
|
|
|
|
− |
3i |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei − |
|
|
|
|
ei[3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(3 |
+ 2i) |
|
|
e |
2 |
|
= |
|
|
+ 2i(1− e 2 )] . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
L∫ (z− i)2 (z + i / 2) 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3). Внутри области z + i ≤ 3 расположена одна особая точка z=-π/2. Соответствующий
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ezdz |
|
|
|
|
|
8πi |
|
− |
i |
|
||||
интеграл был уже вычислен: ∫ |
|
|
|
|
|
= − |
e |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 . |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
2 |
(z− i) |
|
(z + i/2) |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π |
|
|
|
− |
3i |
|
|
|
|
|
8πi |
|
− |
i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ei[3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ. |
I |
1 |
= 0, |
I |
2 |
= |
|
+ 2i(1− e |
2 |
)], |
I |
3 |
= − |
|
|
|
e |
2 . |
|
||||||||
9 |
9 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.
z + 4 |
, |
1) 2 < z < 4 |
2) z > 4. 3) 0<|z-2|<2; |
z2 − 6z + 8 |
Решение. Корнями уравнения z2-6z+8=0 являются числа z1=4 и z2=2. Разложим эту дробь
на простые дроби: |
|
z + 4 |
= |
A |
|
+ |
B |
= |
A(z − 2) + B(z − 4) |
. Или |
|
2 − 6z + 8 |
|
|
|
|
|||||
|
z |
|
z − |
4 |
|
z − 2 |
|
(z − 4)(z − 2) |
A(z − 2) + B(z − 4) = z + 4 . При z=4 получим A=4. Если положить z=2, то получим
В=-3. Следовательно, |
|
z + 4 |
= |
4 |
|
− |
3 |
|
. 1). В кольце 2 < |
|
z |
|
< 4 имеем |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
z |
|
|
|
z |
2 − 6z + 8 z − |
4 z − |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
<1 и |
|
|
|
|
<1. Тогда дробь можно представить следующим образом: |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z4
|
|
|
|
z + 4 |
= − |
4 |
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
. Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z2 − 6z + 8 |
4(1− |
|
z |
|
z(1− |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
геометрической прогрессии: |
|
1 |
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где |
|
q |
|
<1. В первой дроби q=z/4, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1− q |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
во второй дроби q=2/z. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z + 4 |
|
|
∞ |
|
n−1 |
|
∞ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= −3∑ |
2 |
|
− 4∑ |
z |
. |
2). В кольце |
|
z |
|
> 4 выполняются неравенства |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
2 |
− 6z + 8 |
n |
n+1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 z |
|
n=0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
<1 и |
|
4 |
<1. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zz
z + 4 |
|
4 |
|
|
|
3 |
|
|
∞ |
4 |
n−1 |
∞ |
2 |
n−1 |
∞ |
4 |
n |
− 3 2 |
n−1 |
|
= |
|
|
− |
|
|
= 4∑ |
|
−3∑ |
|
= ∑ |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
z2 − 6z + 8 |
z(1− |
4 |
) |
|
z(1− |
2 |
) |
n=1 |
zn |
n=1 |
zn |
n=1 |
|
|
zn |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
zz
3) 0 < z − 2 < 2;
z − 2 < 1; 2
z + 4
z2 − 6z + 8
z + 4
z2 − 6z + 8
= |
|
4 |
− |
3 |
|
|
|
z − |
|
||
4 |
− z |
2 |
∞ (z − 2)n
= −4∑ n+1 1 2
= − |
4 |
|
|
3 |
∞ |
(z − 2)n |
∞ |
zn |
|
|
|
|
|
− |
|
= −4∑ |
|
− 3∑ |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2(1− |
z − 2 |
) |
|
z − 2 |
1 |
2n+1 |
1 2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞zn
−3∑1 2n+1;
Ответ. 1).
z + 4
z2 − 6z + 8
2).
z + 4
z2 − 6z + 8
∞ |
|
|
n−1 |
|
∞ |
n |
||||||||||||||
= −3∑ |
|
2 |
|
|
|
− |
∑ |
z |
|
. в кольце 2 < |
|
z |
|
< 4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n=1 |
z |
n |
|
n=0 4 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∞ |
4 |
n |
− 3 2 |
n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ∑ |
|
|
|
|
в кольце |
|
z |
|
> 4 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + 4 |
|
|
∞ |
(z − 2)n |
|
∞ |
zn |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
|
= −4∑ |
|
− 3∑ |
|
|
|
; в кольце 0<|z-2|<2; |
|||||||
|
|
|
|
|
2 − 6z + 8 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 2n+1 |
|
|
|
1 2n+1 |
|
|
|
||||||||
Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов. |
|||||||||||||||||||||||
10. ∫ |
|
|
|
sin z |
|
|
|
11. |
|
∫ |
5z5 + z −1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
dz |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
16 |
|
|||||||||||||
|
z |
|
=2 |
z(z +1) |
|
(z |
|
+1) |
|
|
|
z |
|
=2 |
z |
|
|
−1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 10.. .Найдём корни знаменателя: z1=0, z2=-1, z3=-i, z4=i. Значения z1=0, z3=-i и z4=i являются простыми полюсами подынтегральной функции, а значение z2=-1 - полюсом
кратности 2. Тогда |
Res |
sin z |
|
= lim [z |
sin z |
|
] = lim [ |
sin z |
|
] = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 (z |
2 +1) |
z(z +1)2 (z2 |
|
(z +1)2 (z2 |
|
|||||
|
0 z(z + 1) |
z→0 |
+ 1) z→0 |
+1) |
|
Res |
|
|
|
sin z |
|
|
|
= |
1 |
lim |
|
d |
[(z +1)2 |
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
] = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z(z +1)2 (z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
+1) |
|
1! z→−1 dz |
|
|
|
|
|
|
z(z + 1)2 (z2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= lim |
cos(z)(z2 |
+1)z |
− (3z2 +1)sin z |
= |
− |
2cos(−1) − 4sin(−1) |
= |
2sin1− cos1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z2 (z2 |
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
z→−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
sin z |
|
|
|
= lim [(z − i) |
|
|
|
|
|
|
sin z |
] = lim [ |
|
|
|
sin z |
|
|
] = − |
sin i |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
z(z +1)2 (z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (z − i)(z + i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
+1) |
|
|
z→i |
|
|
|
z(z + 1) |
|
|
|
z→i |
|
z(z +1)2 (z + i) |
|
4i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
= lim [(z + i) |
|
|
|
|
sin z |
|
] = lim [ |
|
|
sin z |
|
|
|
|
] = − |
sin i |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z(z + 1)2 (z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z +1)2 (z − i) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−i |
|
|
|
+1) |
|
z→−i |
|
|
|
|
z(z +1)2 (z − i)(z + i) z→−i |
|
|
|
4i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим окончательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
∫=2 |
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin1− cos1 |
|
|
|
sin i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
) = πi(2sin1− cos1− sh1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z(z +1)2 (z2 +1) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11. Подынтегральная функция имеет шестнадцать простых полюсов, которые |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
определяются формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ei |
2kπ |
= ei |
kπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2kπ |
|
|
|
|
2kπ |
|
|
|
|
|
kπ |
|
kπ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 16 |
|
= cos |
+ isin |
= cos |
+ isin |
, k = 0,1, 2,...,15 . Все |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
k |
1 |
|
|
или |
z |
k |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
16 |
|
|
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полюсы расположены на окружности единичного радиуса z =1. Вне круга z >1
подинтегральная функция является аналитической кроме точки z = ∞ , которая является
устронимой особой точкой. Действительно, f (z) = |
5z15 |
+ z −1 |
5 |
|
1 |
|
1 |
1 |
||||
|
|
|
= ( |
|
+ |
|
− |
|
) |
|
|
|
z16 −1 |
|
z15 |
z16 |
|
|
|||||||
|
|
z |
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z16 |
Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
1 |
|
=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где |
|
q |
|
<1. В данном случае q=1/z16, причём в области |
|
|
z |
|
>1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
выполняется неравенство 1/z16<1. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) = |
5z15 |
+ z − |
1 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
)(1+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ ...) = |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
+ ... |
В |
||||||||||||||||||
|
z16 −1 |
|
|
|
z |
|
z15 |
|
z16 |
z16 |
z32 |
z |
48 |
z |
|
z15 |
|
z16 |
z17 |
|
z31 |
z32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствии с основной теоремой о вычетах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5z15 + z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi∑Res f (z) = 2πi(− Res f (z)) . Вычет в точке z=∞ равен коэффициенту |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
16 |
−1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
=2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 zk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
при z-1 в разложении фунуции в ряд Лорана, взятый с противоположным знаком. Таким |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
образом, Resf (z) = −5 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
5z15 + z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = 2πi(− Res f (z)) |
=10πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=2 |
z −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ. 10. |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
sin z |
|
|
|
|
|
|
dz =πi(2sin1− cos1 − sh1) . |
11. |
|
|
|
∫ |
|
5z15 + z −1 |
dz |
=10πi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z(z + 1) |
2 |
(z |
2 |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
16 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x4 |
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Найдём корни знаменателя функции f (z) = |
|
z2 |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(z4 + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z4 + 1= 0 |
|
или |
|
|
z = |
|
− |
|
1(cos |
|
π + 2kπ |
+ isin |
|
π + 2kπ |
) |
|
или |
z |
1,2,3,4 |
= ± |
|
1 |
|
(1± i) . Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
два корня из четырёх находятся в верхней полуплоскости:
z |
|
|
= |
|
1 |
|
(1+ i) и z |
|
|
= − |
1 |
|
|
|
(1− i) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2πi(Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
+1) |
|
|
|
4 |
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
(z |
|
|
|
z3 |
|
|
|
(z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z − |
1 |
|
|
(1+ i))z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 |
|
|
(z |
|
|
|
z→ |
1 |
|
(1+i) (z + |
|
|
|
|
(1+ i))(z + |
|
|
(1− i))(z − |
|
|
|
|
|
(1+ i))(z − |
|
|
(1− i)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1− |
|
i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2(i +1) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2i |
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z + |
1 |
|
|
(1− i))z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Res |
|
|
|
z2 |
|
= |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z1 |
|
|
(z |
|
|
|
z→− |
1 |
(1−i) |
(z + |
|
|
|
|
(1+ i))(z + |
|
|
(1− i))(z − |
|
|
|
|
|
(1+ i))(z − |
|
(1− i)) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1+ |
i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2i (− 2)[− |
|
|
2(1− i)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
1− i |
|
1 |
+ i |
|
|
|
π |
|||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2πi(Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = 2πi |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
(z |
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
z3 (z |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
1) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.
∫ |
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где С – верхняя полуокружность |
|
z |
=1, z1=1, z2=-1, |
4 1 =1. |
||||||||||||
4 |
|
|
||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
(cos ϕ + 2kπ + isin ϕ + 2kπ) Рассматривается та |
|||||||||||
Решение. Рассмотрим функцию 4 z = |
|
z |
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
ветвь функции, для которой в точке z=1 функция будет принимать заданное значение. С
|
|
|
|
|
1 |
|
2kπ |
+ isin |
2kπ |
|
|
одной стороны 4 1 = |
1 |
4 |
(cos |
) , так как 1=cos(0)+isin(0). С другой стороны |
|||||||
4 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 =1= (cos π + isin π) . Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что указанной ветви функции соответствует значение k=0. Следовательно, данная ветвь функции имеет
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(cos ϕ + isin ϕ) . Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
уравнение 4 z = |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dz |
|
= 44 |
|
|
|
|
−1 = 4 (cos |
π |
+ isin |
π |
− (cos0 + isin 0) = 4( |
|
1 |
+ |
i |
|
−1) = 2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2(1+ i) − 4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ. ∫ |
|
dz |
= 44 |
|
|
|
−1 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
z |
2(1+ i) − 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
z |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|