Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
59
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
647.71 Кб
Скачать

Вариант 10

Задача 1. Вычислить значение функции (ответ дать в алгебраической форме):

 

 

 

 

+ i i+2

а) cos(2 2i);

б)

3

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Решение. а). По формуле тригонометрии cos(2-2i)=cos2·cos(2i)+sin2·sin(2i). Воспользуемся формулами связи между тригонометрическими и гиперболическими функциями: cos(2i)=ch2; sin(2i)= ish2. Получим cos(2-2i)=cos2·ch2+ i·sin2·sh2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ i i+2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i+2)Ln(

 

3+i

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

б). Воспользуемся формулой

 

 

 

 

 

= e

2

 

. Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i + 2)Ln(

 

 

3 + i

) = (i + 2) [ln

 

3 + i

+ i(π + 2kπ)] = −(π + 2kπ) + i(π + 4kπ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

6

 

 

3

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ i i+2

 

(

π

+2kπ)+i(

π

+4kπ)

 

 

π

 

 

 

π

 

π

 

π

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ln

 

 

 

 

 

= Ln e 6

3

 

 

 

 

= −(

 

+ 2kπ) + i(

+ 4kπ + 2mπ) = −(

+ 2kπ) + i(

 

+ 2nπ) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где обозначено n=2k+m (k, m, n – целые чмсла.

 

 

 

+ i i+2

π

 

π

 

 

3

 

 

Ответ. а) cos(2-2i)=cos2·ch2+ i·sin2·sh2; б)

Ln

 

 

 

 

= −(

+ 2kπ) + i(

 

+ 2nπ) .

 

 

 

 

 

 

2

 

4

3

 

 

 

 

 

Задача 2. Выяснить геометрический смысл соотношения. Сделать чертёж.

0 < Re(2iz) <1.

Решение. Так как z=x+iy, то данное соотношение имеет вид: 0 < Re(2i(x + iy)) <1.

Или 0 < Re(2y + 2ix) <1. Из этого следует, что 0 < −2y <1. Левое неравенство означает, что

 

y<0, а правое – что y>-1/2. Объединяя последние

y

неравенства, можно записать:

1

< y < 0.

 

 

2

 

 

 

 

x

 

Ответ. Данное соотношение определяет область,

 

заключённую между прямыми y=0 и y = −

1

.

y=-1/2

 

 

2

 

 

Задача 3. Решить уравнение: ch z + sh z = 2i.

Решение. Перейдём от синуса гиперболического к косинусу гиперболическому по формуле sh2z=ch2z+1, получим ch z + ch2z +1 = 2i. Перенесём chz в правую часть и возведём обе части равенства в квадрат. Получим: ch2z + 1= −4 4ich z + ch2 z или

5 = −4ich z. Тогда ch z = 5i . Воспользуемся формулой Arch w = Ln(w + w2 + 1) . В данном

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5i

 

 

 

 

 

 

 

 

5i

 

 

 

 

 

 

5i

 

 

25

 

 

 

3i

= Ln(2i).

случае

z = Arch

 

 

= Ln

 

+

 

+ 1

 

= Ln

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

16

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее воспользуемся формулой Ln v = ln v + i(ϕ + 2kπ) . Получим:

z = ln 2 + i(π + 2kπ). 2

Ответ. z = ln 2 + i(π + 2kπ). 2

Задача 4. Доказать тождество. cos(z + π) = − cos z .

Решение. Рассмотрим левую часть равенства:

cos(z + π) = cos(x + iy + π) = cos(x + π)cos(iy) sin(x + π)sin(iy) . По формулам приведения cos(x + π) = − cos x, sin(x + π) = − sin x. Следовательно,

cos(z + π) = − cos x cos(iy) + sin x sin(iy) = −[cos x cos(iy) sin x sin(iy)] = − cos(x + iy) = − cos z , что и требовалось доказать.

Задача 5. Восстановить аналитическую функцию по заданной мнимой части её:

Im(z) = v = x2 y2 2xy + y , если f(i)=0.

Решение. Чтобы функция v(x,y) бала мнимой частью аналитической функции нужно, чтобы она была гармонической, т.е. её лапласиан ∆v был бы равен нулю: ∆v=0,

2

+

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Проверим выполнение этого условия, для чего найдём производные

x2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

второго порядка от v по x и по y:

v

= 2x

2y,

2v

= 2,

v

= −2y

2x

+1,

2v

= −2.

x

x2

y

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, функция v(x, y) = x2 y2 2xy + y является гармонической. Восстановим действительную часть u(x,y) функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y), пользуясь условиями Даламбера-

Эйлера:

u =

v ,

u = −

v

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

y

x

 

 

 

 

Из первого условия получаем:

v =

u = −2y 2x + 1. Тогда

u(x, y) =

udx + ϕ(y) , или

 

 

 

 

 

 

y

x

 

x

u(x, y) = −(2x + 2y 1))dx + ϕ(y) = −x2 2xy + x + ϕ(y). Производная по y от этого выражения

равна u = −2x + ϕ′(y). С другой стороны по второму условию Даламбера-Эйлера

y

u = − v = −2x + 2y. Приравнивая эти выражения, получим: 2x + ϕ′(y) = −2x + 2y. Отсюда

y x

ϕ′(y) = 2y. Или ϕ(y) = y2 + C. Таким образом, u(x, y) = −x2 2xy + y2 + C. Тогда f (z) = x + y2 x2 2xy + C + i (x2 y2 2xy + y). Перейдём к переменной z:

f (z) = −(x2 + 2ixy y2 ) + i(x2 + 2ixy y2 ) + x + iy + C = z2 (i 1) + z + C .

Воспользуемся дополнительным условием f(i)=0. В данном случае f(i)=1+C. Т.е. C=-1. Ответ. f(z) = z2 (i 1) + z + −1= x + y2 x2 2xy 1+ i (x2 y2 2xy + y).

Задача 6. Вычислить интеграл по дуге C от точки z1

до точки z2.

Re

 

dz;

C: y = x2 , z1 = 0,

z2 =1+ i.

z

C

 

 

Решение. Вычислим интеграл, сводя его к криволинейным интегралам второго рода по формуле f (z)dz = udx vdy + iudy + vdx . В данном случае f(z)=x. Следовательно,

C C C

Re z)dz = xdx + ixdy . Примем x за параметр. Тогда y=x2, dy=2xdx. Начальной точке z1=0

CC C

соответствует значение x=0, конечной

z2=1+i – значение x=1.

 

 

 

 

1

1

 

x

2

 

x

3

 

 

1

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, Re

z

dz = xdx + 2ix2dx = [

 

+ 2i

 

 

 

=

+

i

 

 

 

 

 

 

 

 

C

0

0

2

3

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. Re

 

dz =

1

+

2

i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

Задача 7. Вычислить интеграл от аналитической функции. (z + i) ez dz .

1

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:

i

 

u = z + i

du = dz

 

 

i

i

i

 

(z +1) ez dz =

= (z

+ i) ez

ez dz = 2i ei (1+ i) e1 ez

=

dv = e

z

dz

v = e

z

1

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2i ei

+ (1i) e1 ei + e1 = (2i 1)(cos1+ isin1) + (2 i)e1 =

 

 

= 2 e1 2sin1cos1+ i (2cos1sin1e1)

 

 

 

 

Здесь учтено, что ei

= cos1+ isin1.

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

(z + i) ei dz = 2 e1 2sin1cos1+ i (2cos1sin1e1) .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 8. Найти интеграл, используя интегральную формулу Коши, по контурам L1, L2,

L3.

ezdz

 

 

3

 

=1, 2) L2

:4x2 +

y2

=1, 3) L3

 

 

z + i

 

=

3

 

, 1) L1

:

 

z

 

:

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

L

(z i)2 (z + i / 2)

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Решение. 1). Подынтегральная функция аналитична всюду, за исключением точек z=i и

z=-i/2. В круге

y

L2

L3

z 3 1 2

L1

2

подынтегральная функция аналитична. Следовательно,

I

 

=

 

 

ezdz

= 0 . 2). В эллипсе

x2

+ y2 1 есть две

1

 

 

 

 

 

 

L(z i)2 (z + i / 2)

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

особые точки: z=i и z=-i/2. Поэтому применим теорему

Коши для многосвязной области:

 

 

 

 

 

x

2 =

 

 

ezdz

=

 

ezdz

+

 

 

ezdz

, где l1

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2 (zi)

2 (z + i / 2)

l(zi)

2 (z + i / 2)

l

(zi)2 (z + i / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

- окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z=i, а l2 - окружность малого радиуса с центром в точке z=-i/2. Вычислим оба интеграла по интегральной формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ezdz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

(z+ i / 2)

 

 

 

 

= 2πi

 

d

 

 

 

=

 

 

 

Коши:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(zi)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(zi)2 (z + i / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

(z + i / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=i

 

 

 

 

 

= 2πi

ez

(z + i / 2)

ez

 

 

= −

 

8πi

ei (

3

1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z + i / 2)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ezdz

 

=

(zi)

2

= 2πi

 

 

 

 

ez

 

 

 

 

 

= −

8πi

e

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(zi)

2

 

 

 

 

 

(z+ i / 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

9

 

l2

 

 

(z + i / 2)

l1

 

 

 

 

 

 

 

(z i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=−i / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ezdz

 

 

 

 

4π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8πi

 

 

i

 

 

 

4π

 

 

 

 

 

 

3i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ei

 

 

 

 

ei[3

 

 

 

 

 

I

2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

(3

+ 2i)

 

 

e

2

 

=

 

 

+ 2i(1e 2 )] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L(zi)2 (z + i / 2) 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3). Внутри области z + i 3 расположена одна особая точка z=-π/2. Соответствующий

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ezdz

 

 

 

 

 

8πi

 

i

 

интеграл был уже вычислен:

 

 

 

 

 

= −

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

2

(zi)

 

(z + i/2)

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4π

 

 

 

3i

 

 

 

 

 

8πi

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

ei[3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

I

1

= 0,

I

2

=

 

+ 2i(1e

2

)],

I

3

= −

 

 

 

e

2 .

 

9

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

z + 4

,

1) 2 < z < 4

2) z > 4. 3) 0<|z-2|<2;

z2 6z + 8

Решение. Корнями уравнения z2-6z+8=0 являются числа z1=4 и z2=2. Разложим эту дробь

на простые дроби:

 

z + 4

=

A

 

+

B

=

A(z 2) + B(z 4)

. Или

 

2 6z + 8

 

 

 

 

 

z

 

z

4

 

z 2

 

(z 4)(z 2)

A(z 2) + B(z 4) = z + 4 . При z=4 получим A=4. Если положить z=2, то получим

В=-3. Следовательно,

 

z + 4

=

4

 

3

 

. 1). В кольце 2 <

 

z

 

< 4 имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

z

 

 

 

z

2 6z + 8 z

4 z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<1 и

 

 

 

 

<1. Тогда дробь можно представить следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

z4

 

 

 

 

z + 4

= −

4

 

 

 

3

 

 

 

 

. Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 6z + 8

4(1

 

z

 

z(1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

геометрической прогрессии:

 

1

=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где

 

q

 

<1. В первой дроби q=z/4,

 

 

1q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

во второй дроби q=2/z. Следовательно,

 

 

 

 

z + 4

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −3

2

 

4

z

.

2). В кольце

 

z

 

> 4 выполняются неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

6z + 8

n

n+1

 

 

 

 

 

n=1 z

 

n=0 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

<1 и

 

4

<1. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zz

z + 4

 

4

 

 

 

3

 

 

4

n1

2

n1

4

n

3 2

n1

=

 

 

 

 

= 4

 

3

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 6z + 8

z(1

4

)

 

z(1

2

)

n=1

zn

n=1

zn

n=1

 

 

zn

 

 

 

 

 

 

 

 

zz

3) 0 < z 2 < 2;

z 2 < 1; 2

z + 4

z2 6z + 8

z + 4

z2 6z + 8

=

 

4

3

 

 

 

z

 

4

z

2

(z 2)n

= −4n+1 1 2

= −

4

 

 

3

(z 2)n

zn

 

 

 

 

 

= −4

 

3

 

;

 

 

 

 

 

 

 

2(1

z 2

)

 

z 2

1

2n+1

1 2n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

31 2n+1;

Ответ. 1).

z + 4

z2 6z + 8

2).

z + 4

z2 6z + 8

 

 

n1

 

n

= −3

 

2

 

 

 

z

 

. в кольце 2 <

 

z

 

< 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

z

n

 

n=0 4

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

n

3 2

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

в кольце

 

z

 

> 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zn

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + 4

 

 

(z 2)n

 

zn

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

 

 

 

 

 

= −4

 

3

 

 

 

; в кольце 0<|z-2|<2;

 

 

 

 

 

2 6z + 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

1 2n+1

 

 

 

1 2n+1

 

 

 

Задачи 10-11. Вычислить интегралы с помощью вычетов.

10.

 

 

 

sin z

 

 

 

11.

 

5z5 + z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

2

 

2

 

 

16

 

 

z

 

=2

z(z +1)

 

(z

 

+1)

 

 

 

z

 

=2

z

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 10.. .Найдём корни знаменателя: z1=0, z2=-1, z3=-i, z4=i. Значения z1=0, z3=-i и z4=i являются простыми полюсами подынтегральной функции, а значение z2=-1 - полюсом

кратности 2. Тогда

Res

sin z

 

= lim [z

sin z

 

] = lim [

sin z

 

] = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (z

2 +1)

z(z +1)2 (z2

 

(z +1)2 (z2

 

 

0 z(z + 1)

z0

+ 1) z0

+1)

 

Res

 

 

 

sin z

 

 

 

=

1

lim

 

d

[(z +1)2

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

] =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z +1)2 (z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

+1)

 

1! z→−1 dz

 

 

 

 

 

 

z(z + 1)2 (z2 +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

cos(z)(z2

+1)z

(3z2 +1)sin z

=

2cos(1) 4sin(1)

=

2sin1cos1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2 (z2

+1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z→−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res

 

 

 

sin z

 

 

 

= lim [(z i)

 

 

 

 

 

 

sin z

] = lim [

 

 

 

sin z

 

 

] = −

sin i

 

 

z(z +1)2 (z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 (z i)(z + i)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

+1)

 

 

zi

 

 

 

z(z + 1)

 

 

 

zi

 

z(z +1)2 (z + i)

 

4i

Res

 

 

 

 

sin z

 

 

 

= lim [(z + i)

 

 

 

 

sin z

 

] = lim [

 

 

sin z

 

 

 

 

] = −

sin i

.

 

z(z + 1)2 (z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z +1)2 (z i)

 

 

 

i

 

 

 

+1)

 

z→−i

 

 

 

 

z(z +1)2 (z i)(z + i) z→−i

 

 

 

4i

Получим окончательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=2

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin1cos1

 

 

 

sin i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

dz = 2πi (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = πi(2sin1cos1sh1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z +1)2 (z2 +1)

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Подынтегральная функция имеет шестнадцать простых полюсов, которые

определяются формулой:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ei

2kπ

= ei

kπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2kπ

 

 

 

 

2kπ

 

 

 

 

 

kπ

 

kπ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 16

 

= cos

+ isin

= cos

+ isin

, k = 0,1, 2,...,15 . Все

 

 

 

 

 

16

8

 

 

 

 

 

 

 

z

k

1

 

 

или

z

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

16

 

 

 

 

8

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полюсы расположены на окружности единичного радиуса z =1. Вне круга z >1

подинтегральная функция является аналитической кроме точки z = ∞ , которая является

устронимой особой точкой. Действительно, f (z) =

5z15

+ z 1

5

 

1

 

1

1

 

 

 

= (

 

+

 

 

)

 

 

z16 1

 

z15

z16

 

 

 

 

z

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z16

Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

1

 

=1+ q + q2 + ... + qn + ..., где

 

q

 

<1. В данном случае q=1/z16, причём в области

 

 

z

 

>1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выполняется неравенство 1/z16<1. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) =

5z15

+ z

1

5

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

5

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

)(1+

 

+

 

 

+

 

 

 

 

+ ...) =

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+ ...

В

 

z16 1

 

 

 

z

 

z15

 

z16

z16

z32

z

48

z

 

z15

 

z16

z17

 

z31

z32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствии с основной теоремой о вычетах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5z15 + z 1

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz = 2πiRes f (z) = 2πi(Res f (z)) . Вычет в точке z=∞ равен коэффициенту

 

 

 

 

 

16

1

 

 

z

 

=2

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

k=1 zk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при z-1 в разложении фунуции в ряд Лорана, взятый с противоположным знаком. Таким

 

образом, Resf (z) = −5

 

 

 

 

 

 

 

5z15 + z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz = 2πi(Res f (z))

=10πi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

=2

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. 10.

 

 

 

 

 

 

 

sin z

 

 

 

 

 

 

dz i(2sin1cos1 sh1) .

11.

 

 

 

 

5z15 + z 1

dz

=10πi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(z + 1)

2

(z

2

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

z

16

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 12. Вычислить несобственный интеграл с помощью вычетов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x4

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Найдём корни знаменателя функции f (z) =

 

z2

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z4 + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z4 + 1= 0

 

или

 

 

z =

 

 

1(cos

 

π + 2kπ

+ isin

 

π + 2kπ

)

 

или

z

1,2,3,4

= ±

 

1

 

(1± i) . Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

два корня из четырёх находятся в верхней полуплоскости:

z

 

 

=

 

1

 

(1+ i) и z

 

 

= −

1

 

 

 

(1i) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = 2πi(Res

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

4

+1)

 

 

 

4

 

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞ (x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

(z

 

 

 

z3

 

 

 

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z

1

 

 

(1+ i))z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res

 

 

 

 

=

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

(z

 

 

 

z

1

 

(1+i) (z +

 

 

 

 

(1+ i))(z +

 

 

(1i))(z

 

 

 

 

 

(1+ i))(z

 

 

(1i))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

i

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(i +1)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

4 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(z +

1

 

 

(1i))z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Res

 

 

 

z2

 

=

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

 

 

(z

 

 

 

z→−

1

(1i)

(z +

 

 

 

 

(1+ i))(z +

 

 

(1i))(z

 

 

 

 

 

(1+ i))(z

 

(1i))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

1+

i

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i (2)[

 

 

2(1i)]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

1i

 

1

+ i

 

 

 

π

Следовательно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = 2πi(Res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Res

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) = 2πi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

(x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z1

(z

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

z3 (z

 

 

 

 

 

4

 

2

 

4

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

1)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 13. Вычислить интеграл от заданной ветви многозначной функции по кривой С от точки z1 до точки z2.

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где С – верхняя полуокружность

 

z

=1, z1=1, z2=-1,

4 1 =1.

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(cos ϕ + 2kπ + isin ϕ + 2kπ) Рассматривается та

Решение. Рассмотрим функцию 4 z =

 

z

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

ветвь функции, для которой в точке z=1 функция будет принимать заданное значение. С

 

 

 

 

 

1

 

2kπ

+ isin

2kπ

 

одной стороны 4 1 =

1

4

(cos

) , так как 1=cos(0)+isin(0). С другой стороны

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41 =1= (cos π + isin π) . Сравнивая эти выражения, приходим к выводу, что указанной ветви функции соответствует значение k=0. Следовательно, данная ветвь функции имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(cos ϕ + isin ϕ) . Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение 4 z =

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

= 44

 

 

 

 

1 = 4 (cos

π

+ isin

π

(cos0 + isin 0) = 4(

 

1

+

i

 

1) = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2(1+ i) 4 .

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

 

dz

= 44

 

 

 

1 = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2(1+ i) 4 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

z

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в папке 7. Функции комплексного переменного