2Дискретка / Задачники / 4.Комбинаторика

6.КОМБИНАТОРИКА

1.Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизон- тали и вертикали?

2.Имеется 3 экземпляра учебника алгебры, 4 экземпляра учеб- ника геометрии и 5 экземпляров учебника истории. Сколькими спо- собами можно выбрать по одному экземпляру каждого учебника?

3.Сколькими способами можно составить трехцветный полоса- тый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если одна из полос должна быть красной?

4.Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосред- ственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти языков?

5.Десять студентов сдают экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

6.Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (52 карты) по одной карте каждой масти? То же самое при условии, что среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т.е. двух тузов, двух дам и т.д.

7.Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт (52 карты) по одной карте каждой масти так, чтобы карты красных мастей и карты черных мастей образовывали пары (например, де- вятки пик и треф и валеты бубен и червей)?

8.Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в каждой пачке было по два туза.

9.У одного человека есть 7 различных книг по математике, а у другого – 9. Сколькими способами они могут обменять книгу одно- го на книгу другого? А если меняются две книги одного на две кни- ги другого?

10.В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколь- кими способами можно купить в нем 8 открыток? А если требуются, чтобы открытки были разные?

11.На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром 38 человек, с ветчиной – 42 чело- века, и с сыром и с колбасой 28 человек, и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутер- бродов взяли 24 человека, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

12.На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

13.Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Скольки- ми способами это можно сделать?

14.Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть 5 занятий: по алгеб- ре, геометрии, истории, географии и литературе, причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно друг за другом?

15.Сколько нечетных (четных) чисел можно составить из цифр числа 36941, если каждую цифру можно использовать не более од- ного раза?

16.Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4 можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

17.Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 если каждая из них может повторяться не- сколько раз?

18.Имеется n абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить три пары?

19.Человек имеет 6 друзей и в течении k дней приглашает к себе 3-x из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать, если k = 20, k =10 , k = 30 ?

20.Сколько имеется шестизначных чисел, у которых три цифры четные, а три — нечетные?

21.Сколько существует целых чисел от 0 до 999, которые не де- лятся ни на 5, ни на 7?

22.Среди всех чисел от 1 до 10n каких больше: тех, для записи ко- торых используется цифра 9, или тех, которые записываются без нее?

23.Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при все- возможных перестановках цифр 1, 2, 3, 4.

24.Сколько способов разбить 12 человек на две группы по 7 и 5 человек так, чтобы:

а) два данных человека оказались в разных группах; б) в одной группе?

25.Сколькими способами можно посадить за круглый стол 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не си- дели рядом?

26.Сколькими способами можно расставить 20 одинаковых (раз- ных) книг в книжном шкафу с 5 полками (каждая полка может вме- стить все 20 книг), если

а) некоторые полки могут быть пустыми; б) на каждой полке должна быть хотя бы одна книга;

в) на каждой полке должно быть не менее трех книг?

27.Сколькими способами можно переставить n различных пред- метов так, чтобы ровно k (0 < k < n ) предметов остались на месте?

28.На конференции должны выступить докладчики A , B , C , D , E , F и G , причем B не может выступать раньше A . Сколькими

способами можно установить очередность выступлений?

29.На полке стоят k книг в черных переплетах и n книг в синих пе- реплетах, причем все книги разные. Сколькими способами можно рас- ставить книги так, чтобы книги в черных переплетах стояли рядом?

30.Сколькими способами можно расположить в ряд 10 белых и 4 черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом? Рассмот- реть 2 случая: а) шары одного цвета неотличимы друг от друга, б) все шары разные.

31.Сколькими способами 4 черных шара, 5 белых шаров и 6 синих шаров могут быть разложены в 7 различных пакетов (некоторые паке- ты могут быть пустыми), если а) шары одинаковые, б) шары разные?

32.Сколькими способами можно разложить 3 руб. и 10 полтин- ников в 4 различных пакета?

33.Сколько различных перестановок можно образовать из букв следующих слов: а) зебра, б) баран, в) водород, г) абракадабра?

34.Определить коэффициент k в одночлене ka3b4c3 многочлена (с приведенными подобными членами), получаемого из алгебраиче-

ского выражения (a + b + c)10 .

35. Определить коэффициент k в следующих членах многочлена (с приведенными подобными членами), получаемого из алгебраиче- ского выражения (a + b + c)2 (a2 + b2 + c2 )4 .

а) ka3b3c4 , б) ka2b4c4 , в) ka5b5 , г) ka2b2c6 .

37.Сколько делителей имеет число q = p1α1 p2α2 ...pnαn , где pi – раз- личные простые числа, не равные единице, αi – некоторые нату- ральные числа? Чему равна сумма делителей?

38.Сколько существует целых чисел от 0 до 10n , в десятичной за- писи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

39.Сколькими способами можно выбрать 6 карт из колоды, содер- жащей 52 карты, так, чтобы среди них были карты каждой масти?

40.Сколькими способами можно разместить n одинаковых шаров по m различным урнам при следующих условиях:

а) пустых урн нет; б) во второй урне k шаров;

s

в) в первых s урнах соответственно a1,a2 ,...as шаров (åak ≤ n);

k=1

г) в i -й урне не меньше чем ai , i =1,m шаров.