Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2Дискретка / теория множеств

.pdf
Скачиваний:
48
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
207.36 Кб
Скачать

1. Теория множеств

Определение:

Множество A совокупность элементов, объединённых каким-нибудь общим свойством.

Введём следующие обозначения. Множества будем обозначать заглавными

буквами латинского алфавита A, B,... или с подстрочным индексом A1 , A2 ,... ,

элементы множества будем обозначать строчными буквами латинского алфавита a, b,... или с подстрочным индексом a1 , a2 , ... . Принадлежность

элемента x множеству A будем обозначать x A ; если элемент не

принадлежит множеству, тогда пишем x A .

Пустое множество будем

обозначать .

 

 

 

 

 

 

 

 

Определения:

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

B

является подмножеством

множества

A ,

то

 

есть

B A

 

 

x B x A , то есть каждый элемент x B обладает свойством x A .

 

2.

A A , то есть является подмножеством любого множества.

 

3.

Множества A и B равны, то есть A = B , A B и B A .

 

 

4.

B

является строгим подмножеством множества

A ,

будем обозначать

 

это B A , B A и B A .

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

B является собственным подмножеством множества A

B A

и

 

B .

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим операции над множествами:

 

 

 

 

 

 

 

Объединение множеств A и B :

A B ={x | x A x B},

 

 

 

 

 

Пересечение множеств A и B :

A B ={x | x A & x B} ,

 

 

 

 

 

Разность множеств A и B : A \ B ={x | x A & x B} ,

 

 

 

 

 

 

Симметрическая разность A и B : A B = (A \ B ) (B \ A),

 

 

Дополнение множества A относительно U , где A U :

 

 

 

 

A =U \ A .

 

Из определения операций над множествами можно получить следующие свойства:

1.

x A B

x A и x B ,

2.

x A B

x A или x B ,

3. x A \ B x A или x B .

Пример 1.1:

Доказать равенство A B = A (B \ A)

Доказательство:

По определению, доказательство равенства эквивалентно доказательству двух утверждений:

1.A B A (B \ A),

2.A B A (B \ A).

Докажем первое утверждение:

 

 

Пусть x A B , тогда x A или x B . Рассмотрим два случая:

x A и x A .

Пусть x A , тогда для любого множества

C имеет место

x A C , в

качестве множества C возьмём множество B \ A , тогда x A (B \ A).

Пусть x A , тогда x B , то есть можно

записать, что x B \ A , тогда

x A (B \ A).

 

 

Докажем второе утверждение:

Пусть x A (B \ A), тогда x A или x B \ A . Рассмотрим два случая: x A

и x A .

Пусть x A , тогда x A B .

Пусть x A , тогда x B \ A , то по определению разности множеств x B и x A , следовательно x A B .

Пример 1.2:

Доказать утверждение A B C A B и A C .

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения нужно доказать два следующих следствия:

1.

A B C A B и A C ,

2.

A B C A B и A C .

Докажем первое следствие:

Доказательство состоит в том, что нужно доказать одновременную принадлежность элемента x A множествам B и C . Пусть x A , тогда в силу A B C , следует, что x B и x C .

Докажем второе следствие:

Пусть x A , тогда в силу A B и A C , следует, что x B и x C , по определению операции пересечения x B C .

Пример 1.3:

 

Существуют ли такие множества A , B , C ,

что A B , A C = ,

(A B )\ C = .

 

Решение:

 

Будем считать, что такие множества существуют.

Тогда x A B в силу

того, что A B , по определению операции пересечения x A и x B . Так

как x A и A C = , тогда x C . Так как x A ,

x B и x C , следовательно

x (A B )\ C , тогда возникает противоречие с

равенством (A B )\ C = .

Следовательно x A B , поэтому множеств

удовлетворяющих условию

задачи не существует.

 

Пример 1.4:

Доказать равенство A B = A B .

Доказательство:

По определению, доказательство равенства эквивалентно доказательству двух утверждений:

1.A B A B ,

2.A B A B .

Докажем первое утверждение:

Пусть x A B x U \ (A B ) x U и x A B x U & x A или x U & x B . Если x U & x A , тогда x A и следовательно x A B . Если x U & x B , тогда x B и следовательно x A B .

Докажем второе утверждение:

Пусть x A B , тогда по определению операции объединения x A или x B . Если x A , тогда x U \ A , следовательно x U и x A , если элемент не принадлежит какому-либо множеству C , то он не будет принадлежать и

пересечению данного множества C

с любым другим множеством, то есть

 

 

 

 

x A x A B , из этого следует

x U \ (A B ), то x A B . Аналогично

проводится доказательство для случая x B .

Пример 1.5:

Доказать равенство A \ (A \ B )= A B .

Доказательство:

Для доказательства будем использовать эквивалентные преобразования:

x A \ (A \ B ) x A & x A \ B x A & (x A x B ) (x A & x A)(x A & x B ) x A & x B x A B .

2. Декартово произведение множеств

Определения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Мощность множества A это число его элементов, обозначается

 

A

 

.

 

 

2.

Мощность

множеств

всех

подмножеств

множества

A

равна

 

 

P (A)

 

= 2

 

A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Декартово

произведение

множеств A

и B

есть

множество

 

вида

 

 

A × B = { x, y

 

x A & y B}.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Мощность

декартова

произведения

множеств

A и

B

равна

 

 

A × B

 

=

 

A

 

 

B

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть A = {1, 2, 3} и B = {a, b} .

Найти декартовы произведения A × B и

B × A . Найти мощности этих декартовых произведений.

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По определению декартова произведения:

A × B = {1, a , 1, b , 2, a , 2, b , 3, a , 3, b},

B × A = { a,1 , b,1 , a, 2 , b, 2 , a, 3 , b, 3}.

Очевидно, что A × B B × A . Мощности полученных декартовых произведений

A × B = B × A = A B = 3 2 = 6 .

Пример 2.2

Доказать равенство (A B )× C = (A× C ) (B × C ).

Доказательство:

Для доказательства равенства докажем два утверждения:

1.(A B )× C (A × C ) (B × C ),

2.(A B )× C (A × C ) (B × C ).

Докажем первое утверждение:

Пусть

x, y (A B ) C , тогда x A B и y C . Если x A и y C , тогда

x, y A C ,

следовательно x, y (A C ) (B C ). Если x B и y C , тогда

x, y B C , следовательно x, y (A C ) (B C ).

Докажем второе утверждение:

 

 

 

Пусть

x, y (A C ) (B C ),

тогда x, y A C или

x, y B C .

Если

x, y A C ,

тогда x A и y C ,

следовательно x A B

и y C ,

тогда

x, y (A B ) C . Аналогично доказывается для случая x, y B C .

Пример 2.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказать

(A B ) (C D ) (A C ) (B D ),

при

каких

A, B, C, D

получается равенство?

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть x, y (A B ) (C D ),

тогда

x, y A B

или

x, y C D ,

то

(x A x C )& (y B y D ), из

этого

условия следует,

что

x A C

и

y B D , тогда

x, y (A C ) (B D ).

 

 

 

 

 

 

Попробуем сделать

доказательство

в обратную

 

сторону. Пусть

x, y (A C ) (B D ),

тогда x A C

и y B D , из

этого

следует,

что

(x A x C )& (y B y D ), тогда следует рассмотреть четыре варианта:

1.x A и y B , тогда x, y A B , следовательно x, y (A B ) (C D ),

2.x C и y D , тогда x, y C D , следовательно x, y (A B ) (C D ),

3.x A и y D , тогда x, y A D ,

4.x C и y B , тогда x, y C B .

Тогда возникают дополнительные условия: D B и C A или B D и A C

или A = C или B = D .

3. Бинарные отношения, функции, порядок.

Определения:

1.Бинарным отношением между элементами множеств A и B

называется любое подмножество декартова произведения R A B .

2. Если в предыдущем определении A = B , то R бинарное отношение на A .

3. Обозначение x, y R xRy .

4. Область определения бинарного отношения R есть множество

δ R ={x y : x, y R}.

5. Область значений бинарного отношения R есть множество

ρR ={y x : x, y R}.

6.Дополнение бинарного отношения R между элементами A и B есть множество R = (A B )\ R .

7. Обратное отношение для бинарного отношения R есть

R−1 ={ y, x x, y R}.

8. Произведение отношений R1 A B и R2 B C есть отношение

R1 R2 ={ x, y z B : x, z R1 & z, y R2 }.

9.Отношение f называется функцией из A в B , обозначается f : A B ,

если:

 

δ f = A и ρ f B ,

 

 

 

 

 

 

 

x, y, z x, y f и x, z f y = z .

 

 

 

 

 

10.

Отношение

f

называется функцией

из A

на

B ,

обозначается

 

HA

если:

 

 

 

 

 

 

 

f : A B ,

 

 

 

 

 

 

 

δ f = A и ρ f = B ,

 

 

 

 

 

 

 

x, y, z x, y f и x, z f y = z .

 

 

 

 

 

11.

Если f функция, то x, y

f обозначают y = f (x ).

 

 

12.

Тождественная функция iA : A A определяется iA (x ) = x .

13.

Функция f

называется 1-1-функцией,

если

x1 , x2 , y y = f (x1 ) и

 

y = f (x2 ) x1 = x2 .

 

 

 

 

 

 

14.

Функция

f :

HA

осуществляет

взаимно

однозначное

A B

 

соответствие

между множествами A

и

B , если

f

является 1-1-

 

функцией.

 

 

 

 

 

 

 

 

15.Множества A1 , A2 ,..., Ar из P (A) образуют разбиение множества A ,

если:

Ai , i =1, r ,

A = A1 A1 ... Ar ,

Ai Aj , i j ,

Ai блоки разбиения.

16.Бинарное отношение R на множестве A может иметь следующие свойства:

рефлексивность x A x, x R ,

иррефлексивность x A x, x R ,

симметричность x, y A x, y R y, x R ,

антисимметричность x, y x, y R и y, x R x = y ,

транзитивность x, y, z x, y R и y, z R x, z R ,

дихотомия x y либо x, y R , либо y, x R .

17.Эквивалентность на множестве A это рефлексивное, симметричное

итранзитивное отношение на A .

18.Класс эквивалентности элемента x по эквивалентности R есть множество [x]R ={y x, y R}.

19.Фактор множество A по R есть множество классов эквивалентности элементов множества A и обозначается A / R .

20.Свойства классов эквивалентности:

классы эквивалентности образуют разбиение множества A ,

любому разбиению множества A соответствует отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого совпадают с блоками указанного разбиения,

x A попадает в некоторый класс эквивалентности из A / R ,

классы эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.

21.Предпорядок на множестве A это рефлексивное и транзитивное отношение на A .

22.Частичный порядок на множестве A это рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на множестве A .

23.Линейный порядок на множестве A это рефлексивное, транзитивное

иантисимметричное отношение на множестве A , удовлетворяющее условию дихотомии.

24.Пусть отношение порядка на множестве A , тогда:

минимальный элемент x множества A это элемент для

 

которого y

y < x ,

максимальный элемент x множества A это элемент для

 

которого y

x < y ,

наименьший элемент x множества A это элемент для которого

 

y x y ,

 

• наибольший элемент x множества A это элемент для которого

y y x .

25.Если между множеством A и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие, то множество

A счётное множество.

Пример 3.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

A = {1, 2, 3} и B = {a, b} , бинарное

 

отношение

определим

R = { 1, a ,

1, b ,

2, b }.

Будет ли R функцией?

Как

изменить

бинарное

отношение R , чтобы R стала функцией?

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ }

{

}

Рассмотрим первый пункт определения функции

 

R

 

δ

 

=

1, 2

≠ 1, 2, 3 = A ,

следовательно

R

не

является функцией. Добавим

в

R

 

пару

3, a ,

тогда

 

R

{

}

{

}

= A ,

но существуют пары 1, a

и

 

,

что противоречит

δ

 

= 1, 2, 3

= 1, 2, 3

1, b

второму пункту определения функции, для этого исключим одну пару,

например 1, b и

определим

бинарное

отношение

R′ = { 1, a ,

2, b , 3, a },

которое будет функцией.

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

A = {1, 2, 3} и пусть бинарное

 

отношениеR

на A

имеет

вид

R = { 1,1 , 2,1 ,

2, 3 }.

Какими

свойствами

обладает

данное

бинарное

отношение?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это отношение

не обладает свойством рефлексивности,

так

как

x = 2 A : x, x R .

Также R не

обладает

свойствами иррефлексивности и

симметричности.

Обладает

свойствами

транзитивности

и

антисимметричности, так как пар вида x, y

,

y, z и

y, x

нет в R .

 

 

Пример 3.3

Пусть R = { x, y x, y N y mod x = 0}. Найти δ R , ρR , R−1 , R R, R R−1 , R−1 R .

Решение:

δR {x y x, y R} = {x x y = x: x mod x = 0} = Ν ,

ρR {y x x, y R} = {y y x = 1: y mod1 = 0} = Ν ,

R−1 { y, x x, y R}={ y, x y mod x = 0},

R R { x, y z x, z R & z, y R}={ x, y z = x: x mod x = 0 & y mod x = 0}= R ,

R R−1 { x, y z x, z R & y, z R}= { x, y z = xy :(xy )mod x = 0 & (xy )mod y = 0}= N 2 ,

R−1 R { x, y z z, x R & z, y R}= { x, y z = 1 : x mod1 = 0 & y mod1 = 0}= N 2 .

Пример 3.4

Доказать (R1 R2 )−1 = R2−1 R1−1 .

Доказательство:

Пусть

x, y (R1 R2 )−1

y, x R1 R2 z y, z R1 и z, x R2 z

z, y R−1

и x, z R−1

x, y R−1

R−1 .

1

 

2

 

2

1

Пример 3.5

Для каких бинарных отношений R имеет место R−1 = −R ?

Решение:

R A B , тогда возможны два случая:

1. A B .

Тогда x A B . Если x, x R , тогда x, x R−1 и по условию R−1 = −R

следует x, x R , тогда

x, x R .

 

2. A B = .

 

 

 

Пусть x A и

y B и

x, y R , тогда y, x R−1 , тогда по

условию

R−1 = −R следует

y, x R y A и x B , то есть x A B и

y A B ,

по предположению таких x и y не существует.

Тогда можно сделать вывод, что при условии A, B , то R−1 ≠ −R .

Пример 3.6

На множестве D всех действительных чисел определим отношение R

следующим образом: x, y R (x y ) рациональное число. Доказать, что

R отношение эквивалентности.

Доказательство:

Для доказательства отношения эквивалентности следует доказать рефлексивность, симметричность и транзитивность.

1.рефлексивность:

x D x x = 0 рационально число,

2.симметричность:

если

x, y R ,

 

то

x y =

p

 

рационально число,

тогда

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y x = −(x y ) = −

p

рациональное число, тогда

y, x R ,

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. транзитивность:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

x, y R

и

 

y, z R ,

 

то

 

x y =

p

 

и

y z =

m

,

сложим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

n

 

 

p

+

m

= x z =

np + mq

рациональное число, тогда

x, z R .

 

 

 

 

 

 

 

q n

 

nq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно R есть отношение эквивалентности.

 

 

 

 

 

Пример 3.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказать, что если

f :

HA

и g

: B

HA

 

HA

 

A B

C , то

f g : A C .

 

Доказательство:

Для доказательства докажем оба пункта определения функции. Для

доказательства

первого пункта

необходимо доказать, что x A

z C :

x, z f g

и z C

x A :

x, z

f g . Рассмотрим x пару

x, z

f g , тогда

y B :

x, y f

и

y, z g ,

такой

y

всегда найдётся

по

определению

функций

f

и g . Рассмотрим z

пару

x, z f g ,

тогда y B :

x, y f

и

y, z g ,

такой

y

всегда найдётся по определению функций

f

и

g . Для

доказательства

второго пункта

определения

предположим,

что

z1 z2 :

x, z1

f g

и

x, z2

f g ,

тогда

y1 , y2 :

x, y1

f ,

x, y2

f ,

 

y1 , z1 g

и

y2 , z2

g ,

по определению функций

f

и g

следует, что y1 = y2 ,

из чего

следует z1 = z2 .

Пример 3.8

Разбиение плоскости D2 состоит из лучей, выходящих из начала координат. Выписать отношение эквивалентности R , соответствующее данному разбиению, выписать классы эквивалентности.

y

x

Решение:

Соседние файлы в папке 2Дискретка