Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2Дискретка / исчисление высказываний и предикатов

.pdf
Скачиваний:
46
Добавлен:
27.03.2015
Размер:
132.56 Кб
Скачать
{ , &, , , }

5. Исчисление высказываний и предикатов

Пусть дано непустое множество простых предложений Q . Расширим это множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно

образовать с использованием сентенциональных связок из

простых предложений. В таком случае это расширенное множество будет обладать свойством:

Если A и B элементы этого множества, то его элементами будут

A, B, A & B, A B, A B, A B . Будем называть элементы

расширенного множества составными формулами, а элементы первоначального множества простыми формулами.

Каждой простой формуле сопоставляется один элемент из множества {T , F} .

Далее принимается, что не имеет значения какое из значений T или F приписывается данной простой формуле, то есть T или F приписываются в соответствии с конкретными условиями. Истинностное значение составной формулы определяется индуктивным способом в соответствии с таблицами.

Таблица 1

A

B

A & B

A B

A B

A B

 

 

 

 

 

 

T

T

T

T

T

T

 

 

 

 

 

 

T

F

F

T

F

F

 

 

 

 

 

 

F

T

F

T

T

F

 

 

 

 

 

 

F

F

F

F

T

T

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

A

A

 

 

T

F

 

 

F

T

 

 

Для каждой формулы A можно построить таблицу истинности, при этом

если простыми компонентами служат P , ..., P

1 n

таблице будет 2n .

, то количество строк в такой

P (x1 ,..., xn )
P & (P Q ) Q

Определение:

Формула, истинностное значение которой есть T при любых возможных истинностных значениях, приписываемых её простым компонентам,

является тавтологией.

Теорема:

Пусть B некоторая формула, Bформула, получаемая из B подстановкой формулы A вместо простой компоненты P , везде, где эта компонента встречается в B . Тогда, если B тавтология, то Bтавтология.

Пример 5.1:

 

 

 

 

 

 

 

Будут

ли

тавтологиями

 

формулы

P & (P Q ) Q

,

(R P )& ((R P ) Q ) Q ?

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

Построим для первой формулы таблицу истинности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

Q

 

 

P

& (P Q )

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

T

 

 

 

T

T

T

 

T

F

 

 

 

F

F

T

 

F

T

 

 

 

F

T

T

 

F

F

 

 

 

F

T

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно из таблицы формула принимает значение T при любых значениях

её простых компонентов. Следовательно тавтология.

При исследовании второй формулы легко заметить, что при замене в

формуле P & (P Q ) Q

простой

компоненты

P на

сентенциональную

связку R P получается

искомая

формула,

в

силу

теоремы формула

(R P )& ((R P ) Q ) Q тавтология.

 

 

 

Определение:

 

 

 

 

 

Добавим понятие переменной.

Предикат

логическая функция от

переменных. То есть n -местный предикат обладает тем

свойством, что если приписать переменным некоторые значения, то этот предикат становится высказыванием от этих переменных.

Формула будет строиться следующим образом:

1.

любая атомарная формула Pn (t1 ,..., tn ) формула,

2.

если A и B формулы, то ¬A, ¬B, A & B, A B, A B, A B формулы,

3.

если A формула, x переменная, то x A и x A формулы.

Определения:

Вхождение переменной в формулу называют связанным, если это вхождение находится в области действия соответствующего квантора,

иначе свободным.

Интерпретацией Ι называется отображение, которое сопоставляет:

каждой предметной переменной x элемент Ι (x ) = d x D , где dx

значение переменной x , D область интерпретации,

каждому предикатному символу P (x1 ,..., xn ) поставлена в соответствие логическая функция λ : Dn {T , F} , т.е. истинностным значением для P (x1 ,..., xn ) будет λ (d1 ,..., dn ).

Пара < D; f > , состоящая из области интерпретации D и отображения f ,

которое каждому предикатному символу сопоставляет логическую функцию, называется моделью.

Пример 5.2:

Найти истинностные значения формулы x (P (x ) Q ) (Q & P (y )) , где

область интерпретации фиксировано D = {a, b} , но неизвестно.

Решение:

Так как область интерпретации фиксировано, но неизвестно, тогда следует перебрать все варианты, которые может принимать логическая функция λ . Приведём вариант в таблице.

x

λ1 (x )

λ2 (x )

λ3 (x )

λ4 (x )

 

 

 

 

 

a

T

T

F

F

b

T

F

T

F

 

 

 

 

 

Q принимает значения T и F , y приписывается значение a или b , тогда в таблице должно быть 4 2 2 = 16 записей.

Рассмотрим одну из строк. Пусть P (x ) приписывается λ1 (x ) , Q принимает

значение T , y

приписывается a : x (λ1 (x ) T ) (T & λ1 (a )) .

Чтобы приписать

истинностное

значение

для x (λ1 (x ) T )

вычислим

её

как

логическую

функцию от x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

λ1 (x ) T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

T T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

T T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (λ1 (x ) T )

 

 

 

 

 

Истинностное

 

значение

есть

T ,

а

всей

формулы

x (λ1 (x ) T )

(T & λ1 (a )) также есть T . Аналогично для всех остальных строк.

 

 

 

 

 

 

 

 

P (x )

Q

 

y

 

x (P (x ) Q )

 

(Q & P (y ))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1 (x )

T

 

a

 

T

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1 (x )

T

 

b

 

T

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1 (x )

F

 

a

 

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ1 (x )

F

 

b

 

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ2 (x )

T

 

a

 

T

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ2 (x )

T

 

b

 

T

 

T

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ2 (x )

F

 

a

 

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ2 (x )

F

 

b

 

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ3 (x )

T

 

a

 

T

 

T

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ3 (x )

T

 

b

 

T

 

T

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ3 (x )

F

 

a

 

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ3 (x )

F

 

b

 

F

 

F

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ4 (x )

T

 

a

 

T

 

T

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ4 (x )

T

 

b

 

T

 

T

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ4 (x )

F

 

a

 

T

 

T

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ4 (x )

F

 

b

 

T

 

T

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определения:

1.Формула выполнима, если существует интерпретация, в которой она истинна.

2.Формула общезначима, если она истинна в любой интерпретации.

3.Формула противоречива (невыполнима), если не существует интерпретации, в которой она истинна.

Пример 5.3:

Выполнимы ли формулы:

1.x P (x ),

2.x P (x ),

3.x y (Q (x, x )& Q (x, y )),

4.x y (P (x )& P (y )),

5.x y (Q (x, y ) zR (x, y, z ))?

Решение:

1. Формула x P (x ) выполнима в N , P , где P (x ) = T x простое число.

2.Формула x P (x ) выполнима в N , P , где P (x ) = T тождественно истинный предикат.

3.Формула x y (Q (x, x )& Q (x, y )) невыполнима. Пусть она истина в некоторой интерпретации, то есть a : y (Q (a, a )& Q (a, y )) , тогда должна быть истинной формула Q (a, a )& Q (a, a ) , таким образом

пришли к противоречию.

4. Формула x y (P (x )& P (y )) выполнима в N , P , где P (x ) = T x

простое число.

5. Формула

x y (Q (x, y ) zR (x, y, z ))

выполнима в N ; Q, R , где

Q (x, y ) = T

x y , R (x, y, z ) = T

x + y z .

Не выполнима в случае

N ; Q, R , где N ′ ={1, 2, ..., n}.

 

 

Пример 5.4:

 

 

 

Пусть дана модель N ; S 3 , P3 , где S 3 (x, y, z ) = T

x + y = z , P3 (x, y, z ) = T

x y = z . Записать формулу с одной свободной переменной x , истинную в модели тогда и только тогда, когда x = 0 , x =1 , x = 2 , x чётно, x нечётно, x простое число.

Решение:

x = 0 Ο(x ) = y S 3 (x, y, y ), то есть сумма с нулём число не изменяет,

x = 1 Ε (x ) = y P3 (x, y, y ) , то есть умножение на единицу число не

изменяет,

x = 2 D (x ) = z ( yP3 (z, y, y )& S 3 (z, z, x )) , то есть существует такое z ,

умножение на которое не меняет число, а это есть единица, сумма единиц двойка,

x чётно C (x ) = y S 3 (y, y, x ) , то есть x представимо в виде

x = y + y = 2 y ,

x нечётно N (x ) = ¬C (x ) , то есть число нечётное,

x простое число P (x ) = (¬Ε (x )& y z (P (y, z, x ) (Ε (y ) Ε (z )))), то

есть число не нуль и если найдётся множители числа, то одно из них будет единица, а другое, как следствие, само число.

Задачи для самостоятельного решения

 

 

1. Построить

таблицу

истинности

для

формулы

(R P )& ((R P ) Q ) Q .

2.Пусть Μ = N ; S 3 , P3 , где S 3 (x, y, z ) = T x + y = z , P3 (x, y, z ) = T x y = z .

Написать формулу, выражающую следующее утверждение: z

наименьшее общее кратное x и y .

3.Пусть Μ = N ; S 3 , P3 , где S 3 (x, y, z ) = T x + y = z , P3 (x, y, z ) = T x y = z .

Написать формулу, выражающую следующее утверждение: бесконечность множества простых чисел.

Соседние файлы в папке 2Дискретка