2Дискретка / исчисление высказываний и предикатов
.pdf5. Исчисление высказываний и предикатов
Пусть дано непустое множество простых предложений Q . Расширим это множество, присоединив к нему все те предложения, которые можно
образовать с использованием сентенциональных связок из
простых предложений. В таком случае это расширенное множество будет обладать свойством:
Если A и B – элементы этого множества, то его элементами будут
←A, ←B, A & B, A B, A B, A B . Будем называть элементы
расширенного множества – составными формулами, а элементы первоначального множества – простыми формулами.
Каждой простой формуле сопоставляется один элемент из множества {T , F} .
Далее принимается, что не имеет значения какое из значений T или F приписывается данной простой формуле, то есть T или F приписываются в соответствии с конкретными условиями. Истинностное значение составной формулы определяется индуктивным способом в соответствии с таблицами.
Таблица 1
A |
B |
A & B |
A B |
A B |
A B |
|
|
|
|
|
|
T |
T |
T |
T |
T |
T |
|
|
|
|
|
|
T |
F |
F |
T |
F |
F |
|
|
|
|
|
|
F |
T |
F |
T |
T |
F |
|
|
|
|
|
|
F |
F |
F |
F |
T |
T |
|
|
|
|
|
|
Таблица 2
A |
←A |
|
|
T |
F |
|
|
F |
T |
|
|
Для каждой формулы A можно построить таблицу истинности, при этом
если простыми компонентами служат P , ..., P
1 n
таблице будет 2n .
, то количество строк в такой
Определение:
Формула, истинностное значение которой есть T при любых возможных истинностных значениях, приписываемых её простым компонентам,
является тавтологией.
Теорема:
Пусть B – некоторая формула, B′ – формула, получаемая из B подстановкой формулы A вместо простой компоненты P , везде, где эта компонента встречается в B . Тогда, если B – тавтология, то B′ – тавтология.
Пример 5.1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Будут |
ли |
тавтологиями |
|
формулы |
P & (P Q ) Q |
, |
||
(R P )& ((R P ) Q ) Q ? |
|
|
|
|
||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим для первой формулы таблицу истинности. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
Q |
|
|
P |
& (P Q ) |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T |
|
|
|
T |
T |
T |
|
T |
F |
|
|
|
F |
F |
T |
|
F |
T |
|
|
|
F |
T |
T |
|
F |
F |
|
|
|
F |
T |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из таблицы формула принимает значение T при любых значениях
её простых компонентов. Следовательно – тавтология.
При исследовании второй формулы легко заметить, что при замене в
формуле P & (P Q ) Q |
простой |
компоненты |
P на |
сентенциональную |
|
связку R P получается |
искомая |
формула, |
в |
силу |
теоремы формула |
(R P )& ((R P ) Q ) Q – тавтология. |
|
|
|
||
Определение: |
|
|
|
|
|
Добавим понятие переменной. |
Предикат |
– |
логическая функция от |
переменных. То есть n -местный предикат обладает тем
свойством, что если приписать переменным некоторые значения, то этот предикат становится высказыванием от этих переменных.
Формула будет строиться следующим образом:
1. |
любая атомарная формула Pn (t1 ,..., tn ) – формула, |
2. |
если A и B – формулы, то ¬A, ¬B, A & B, A B, A B, A B – формулы, |
3. |
если A – формула, x – переменная, то x A и x A – формулы. |
Определения:
Вхождение переменной в формулу называют связанным, если это вхождение находится в области действия соответствующего квантора,
иначе – свободным.
Интерпретацией Ι называется отображение, которое сопоставляет:
•каждой предметной переменной x элемент Ι (x ) = d x D , где dx –
значение переменной x , D – область интерпретации,
•каждому предикатному символу P (x1 ,..., xn ) поставлена в соответствие логическая функция λ : Dn → {T , F} , т.е. истинностным значением для P (x1 ,..., xn ) будет λ (d1 ,..., dn ).
Пара < D; f > , состоящая из области интерпретации D и отображения f ,
которое каждому предикатному символу сопоставляет логическую функцию, называется моделью.
Пример 5.2:
Найти истинностные значения формулы x (P (x ) Q ) (Q & P (y )) , где
область интерпретации фиксировано D = {a, b} , но неизвестно.
Решение:
Так как область интерпретации фиксировано, но неизвестно, тогда следует перебрать все варианты, которые может принимать логическая функция λ . Приведём вариант в таблице.
x |
λ1 (x ) |
λ2 (x ) |
λ3 (x ) |
λ4 (x ) |
|
|
|
|
|
a |
T |
T |
F |
F |
b |
T |
F |
T |
F |
|
|
|
|
|
Q принимает значения T и F , y приписывается значение a или b , тогда в таблице должно быть 4 2 2 = 16 записей.
Рассмотрим одну из строк. Пусть P (x ) приписывается λ1 (x ) , Q принимает
значение T , y |
приписывается a : x (λ1 (x ) T ) (T & λ1 (a )) . |
Чтобы приписать |
||||||||
истинностное |
значение |
для x (λ1 (x ) T ) |
вычислим |
её |
как |
логическую |
||||
функцию от x . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
λ1 (x ) T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
T T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (λ1 (x ) T ) |
|
|
|
|
|
Истинностное |
|
значение |
есть |
T , |
а |
всей |
формулы |
|||
x (λ1 (x ) T ) |
(T & λ1 (a )) также есть T . Аналогично для всех остальных строк. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P (x ) |
Q |
|
y |
|
x (P (x ) Q ) |
|
(Q & P (y )) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 (x ) |
T |
|
a |
|
T |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 (x ) |
T |
|
b |
|
T |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 (x ) |
F |
|
a |
|
F |
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 (x ) |
F |
|
b |
|
F |
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 (x ) |
T |
|
a |
|
T |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 (x ) |
T |
|
b |
|
T |
|
T |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 (x ) |
F |
|
a |
|
F |
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ2 (x ) |
F |
|
b |
|
F |
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 (x ) |
T |
|
a |
|
T |
|
T |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 (x ) |
T |
|
b |
|
T |
|
T |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 (x ) |
F |
|
a |
|
F |
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ3 (x ) |
F |
|
b |
|
F |
|
F |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ4 (x ) |
T |
|
a |
|
T |
|
T |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ4 (x ) |
T |
|
b |
|
T |
|
T |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ4 (x ) |
F |
|
a |
|
T |
|
T |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ4 (x ) |
F |
|
b |
|
T |
|
T |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определения:
1.Формула выполнима, если существует интерпретация, в которой она истинна.
2.Формула общезначима, если она истинна в любой интерпретации.
3.Формула противоречива (невыполнима), если не существует интерпретации, в которой она истинна.
Пример 5.3:
Выполнимы ли формулы:
1.x P (x ),
2.x P (x ),
3.x y (Q (x, x )& ←Q (x, y )),
4.x y (P (x )& ←P (y )),
5.x y (Q (x, y ) zR (x, y, z ))?
Решение:
1. Формула x P (x ) выполнима в N , P , где P (x ) = T x – простое число.
2.Формула x P (x ) выполнима в N , P , где P (x ) = T – тождественно истинный предикат.
3.Формула x y (Q (x, x )& ←Q (x, y )) невыполнима. Пусть она истина в некоторой интерпретации, то есть a : y (Q (a, a )& ←Q (a, y )) , тогда должна быть истинной формула Q (a, a )& ←Q (a, a ) , таким образом
пришли к противоречию.
4. Формула x y (P (x )& ←P (y )) выполнима в N , P , где P (x ) = T x –
простое число.
5. Формула |
x y (Q (x, y ) zR (x, y, z )) |
выполнима в N ; Q, R , где |
|
Q (x, y ) = T |
x ≥ y , R (x, y, z ) = T |
x + y ≥ z . |
Не выполнима в случае |
N ′; Q, R , где N ′ ={1, 2, ..., n}. |
|
|
|
Пример 5.4: |
|
|
|
Пусть дана модель N ; S 3 , P3 , где S 3 (x, y, z ) = T |
x + y = z , P3 (x, y, z ) = T |
x y = z . Записать формулу с одной свободной переменной x , истинную в модели тогда и только тогда, когда x = 0 , x =1 , x = 2 , x – чётно, x – нечётно, x – простое число.
Решение:
• x = 0 – Ο(x ) = y S 3 (x, y, y ), то есть сумма с нулём число не изменяет,
•x = 1 – Ε (x ) = y P3 (x, y, y ) , то есть умножение на единицу число не
изменяет,
•x = 2 – D (x ) = z ( yP3 (z, y, y )& S 3 (z, z, x )) , то есть существует такое z ,
умножение на которое не меняет число, а это есть единица, сумма единиц – двойка,
• x – чётно – C (x ) = y S 3 (y, y, x ) , то есть x представимо в виде
x = y + y = 2 y ,
•x – нечётно – N (x ) = ¬C (x ) , то есть число нечётное,
• x – простое число – P (x ) = (¬Ε (x )& y z (P (y, z, x ) (Ε (y ) Ε (z )))), то
есть число не нуль и если найдётся множители числа, то одно из них будет единица, а другое, как следствие, само число.
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||
1. Построить |
таблицу |
истинности |
для |
формулы |
(R P )& ((R P ) Q ) Q .
2.Пусть Μ = N ; S 3 , P3 , где S 3 (x, y, z ) = T x + y = z , P3 (x, y, z ) = T x y = z .
Написать формулу, выражающую следующее утверждение: z
наименьшее общее кратное x и y .
3.Пусть Μ = N ; S 3 , P3 , где S 3 (x, y, z ) = T x + y = z , P3 (x, y, z ) = T x y = z .
Написать формулу, выражающую следующее утверждение: бесконечность множества простых чисел.