3Линейка / Задачник-3 / Глава 8(2)
.docв) совпадают?
-
Найдите расстояние от точки до плоскости:
а) ; в) ;
б) ; г) .
8.2.17. Найдите расстояние между параллельными плоскостями:
8.2.18. а) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости
и отстоящих от нее на расстояние 3.
б) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости
и отстоящих от нее на расстояние 3.
в) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости
и отстоящих от точки на расстояние 3.
г) Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от начала координат на расстояние 3.
8.2.19. Найдите угол между плоскостями:
§ 8.3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пример 1. Найдите проекцию прямой
на плоскость .
Решение. Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найдем ее параметрическое уравнение, для чего решим систему уравнений.
.
Отсюда , y – свободная переменная, и параметрическое уравнение данной прямой
Отыщем точку пересечения А прямой с плоскостью:
Выберем на прямой точку (0,16,–1) и через нее проведем прямую ортогональную плоскости . Получим точку пересечения В этой прямой с плоскостью:
Проведем через точки А и В прямую. Поскольку , каноническое уравнение искомой прямой .
Пример 2. Найдите точку, симметричную точке А=(0,5,–3) относительно прямой
Решение. Как и в предыдущем примере, прямая задана пересечением двух плоскостей. Найдем ее параметрическое уравнение.
Отсюда свободная переменная, и параметрическое уравнение данной прямой
Определим основание В перпендикуляра, опущенного из точки А на эту прямую. Предположим, что система координат прямоугольная. Поскольку и точка В находится на минимальном расстоянии от точки А, найдем значение переменной t, при котором принимает свое наименьшее значение. В силу того, что и Следовательно, и параметрическое уравнение прямой
Искомая точка С принадлежит прямой АВ и отстоит от прямой на расстояние . Найдем координаты точки С при помощи соотношения (8.1.8), в котором . Получим или .
Данное уравнение имеет два корня: соответствует точке А, – точке С. Таким образом, .
Пример 3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
Решение. Воспользуемся формулой (8.2.6). Выбрав в качестве получим
В задачах, требующих вычисления скалярных произведений, предполагается, что система координат прямоугольная.
8.3.1. Проверьте, лежит ли данная прямая в плоскости , параллельна этой плоскости или пересекает ее в единственной точке; в последнем случае найдите координаты точки пересечения. Прямая задана уравнениями:
а) ;
б)
в)
8.3.2. При каких а прямая
а) пересекает плоскость
б) параллельна этой плоскости;
в) лежит в этой плоскости.
8.3.3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
параллельно вектору .
8.3.4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и .
8.3.5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной прямым
и
8.3.6. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую и параллельной прямой .
8.3.7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, заданную уравнениями:
а) ;
б)
8.3.8. Найдите проекцию точки на прямую
8.3.9. Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости .
8.3.10. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости .
8.3.11. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой
а) ;
б) .
8.3.12. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной двум плоскостям и .
8.3.13. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к вектору и пересекающей прямую
8.3.14. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей две прямые
и
8.3.15. Точка А лежит на прямой . Расстояние от точки А до плоскости равно . Найдите координаты точки А.
8.3.16. Составьте уравнение прямой, симметричной прямой
относительно плоскости .
8.3.17. Составьте уравнения проекций на плоскость следующих прямых:
а) ;
б)
в) .
8.3.18. Найдите угол между плоскостью и прямой:
а) ;
б) .
8.3.19. Найдите точку, симметричную точке относительно плоскости, проходящей через прямые:
и
8.3.20. Точка А лежит на прямой
Расстояние от точки А до прямой равно . Найдите координаты точки А.