ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

ПО ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЕ

(осенний семестр, 2009г.)

1. Определение поля. Следствия из аксиом поля. Примеры полей.

2. Определение комплексных чисел. Поле комплексных чисел.

3. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.

Покажите, что

.

4. Сопряженные комплексные числа. Покажите, что ; ; ; ; .

5. Основные операции над матрицами и их свойства.

6. Определение и свойства определителей.

7. Вычисление определителей второго и третьего порядков.

8. Разложение определителя по строке (столбцу).

9. Теорема Лапласа.

10. Докажите, что сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.

11. Докажите, что алгебраическое дополнение элемента связано с минором соотношением .

12. Обратные матрицы, их вычисление.

13. Решение СЛАУ с невырожденной основной матрицей по формулам Крамера.

14. Определение линейного пространства. Свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств.

15. Линейные комбинации, линейная зависимость. Докажите, что система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда из равенства следует равенство нулю всех коэффициентов линейной комбинации.

16. Докажите, что система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда либо , либо некоторый вектор является линейной комбинацией предшествующих векторов.

17. Докажите, что элементарные преобразования системы векторов не нарушают ее линейную зависимость или независимость.

18. Эквивалентные системы векторов. Докажите, что если каждый из векторов линейно независимой системы линейно выражается через векторы другой системы , то . Докажите, что эквивалентные линейно независимые системы состоят их одного и того же числа векторов.

19. База и ранг системы векторов. Докажите, что элементарные преобразования системы векторов приводят к эквивалентной системе.

20. Базис линейного пространства. Докажите, что разложение любого вектора по данному базису единственно. Докажите, что произвольную систему из k линейно независимых векторов можно дополнить до базиса n-мерного пространства L.

21. Понятие подпространства и линейной оболочки. Примеры подпространств.

22. Сумма и пересечение подпространств. Докажите, что для любых двух подпространств и конечномерного пространства имеет место равенство

.

20. Прямая сумма подпространств. Докажите, что для того чтобы пространство было прямой суммой своих подпространств , необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов этих подпространств составляло базис всего пространства.

21. Докажите, что для того чтобы сумма двух линейных подпространств была прямой суммой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих подпространств было нулевым.

22. Изоморфизм линейных пространств. Докажите, что все конечномерные пространства, заданные над одним полем, изоморфны, если и только если они имеют одинаковую размерность. Пример изоморфных линейных пространств.

23. Докажите, что всякое n-мерное векторное пространство над полем изоморфно .

24. Ранг матрицы, базисный минор. Докажите, что любая строка (любой столбец) матрицы А является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

25. Докажите, что определитель равен нулю тогда и только тогда, когда между его строками (столбцами) существует линейная зависимость.

26. Докажите, что размерность линейной оболочки системы векторов-столбцов матрицы А равна рангу матрицы А; базис указанной линейной оболочки образуют базисные столбцы матрицы А.

27. Докажите, что ранг любой матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов (строк).

28. Докажите, что максимальное число линейно независимых строк любой матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

29. Докажите, что однородная СЛАУ нетривиально совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А меньше числа неизвестных.

30. Критерий Кронекера-Капелли совместности неоднородной СЛАУ.

31. Докажите, что множество всех решений однородной СЛАУ с n неизвестными образует подпространство размерности n-r, где r-ранг матрицы системы.

32. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.

33. Докажите, что сумма частного решения неоднородной СЛАУ и общего решения соответствующей однородной системы дает общее решение неоднородной системы.

34. Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств.

35. Неравенство Коши-Буняковского для евклидова пространства.

36. Докажите, что неравенство Коши-Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы x и y коллинеарны.

37. Докажите, что в любом конечномерном действительном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение.

38. Нормированное пространство. Докажите, что всякое евклидово пространство является нормированным, если .

39. Ортонормированный базис и его существование в евклидовом пространстве.

40. Докажите, что ортогональная сумма ненулевых подпространств является прямой суммой.

41. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму своего подпространства и его ортогонального дополнения.

42. Нахождение по наклонной ее ортогональной проекции и перпендикуляра.

43. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств.

44. Определение унитарного пространства. Примеры унитарных пространств.

45. Докажите, что в любом конечномерном комплексном линейном пространстве можно ввести скалярное произведение.

46. Докажите, что всякое унитарное пространство является нормированным, если .

47. Свойства ортонормированного базиса в унитарном пространстве.

48. Докажите, что все унитарные пространства одной размерности изоморфны между собой.

49. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.