Дискретная математика

Читал: Павлов Игорь Сергеевич

Набрал: Смирнов Вадим Евгеньевич

ННГУ, 2000 г.

Глава III. Алгебра логики.

(Лекция 7)

Функции алгебры логики

E₂ = {0, 1}

Определение. Функцией алгебры логики называется отображение f:  E₂, где x_i  E₂, i = 1, 2, …, n. Функции алгебры множеств называются булевыми функциями. Обозначим все множество булевых функций через P₂(n).

Теорема (О количестве булевых функций от n переменных):

Мощность множества булевых функций |P₂(n)| = .

Доказательство: (Следует из Теоремы о мощности всех подмножеств данного множества)

Пример: |P₂(4)| = = 2¹⁶ = 65536

Существенные и фиктивные переменные

Определение. Функция f(x₁, x₂, … x_i-1, x_i, x_i+1, … x_n) существенно зависит от переменной x_i, если существует набор ₁, …, _n переменных x₁, …, x_n, что выполняется неравенство:

f(x₁, x₂, … x_i-1, 0, x_i+1, … x_n)  f(x₁, x₂, … x_i-1, 1, x_i+1, … x_n).

В этом случае переменную x_i называют существенной. Если же x_i не является существенной, то ее называют фиктивной.

Определение. Переменную x_i называют фиктивной, если для любого набора значений ₁, …, _n переменных x₁, …, x_n выполняется равенство: f(x₁, x₂, … x_i-1, 0, x_i+1, … x_n) = f(x₁, x₂, … x_i-1, 1, x_i+1, … x_n).

Примеры:

1. f(x₁, … x_n)  0  x_i – фиктивная, i = 1, 2, …, n.

2)

x	y	f(x, y)
0	0	0
0	1	1
1	0	0
1	1	1

f(0, 0)  f(0,1)  Переменная x – существенная

f(0, 0) = f(1,0) 

f(0, 1) = f(1,1)  Переменная y – фиктивная

Исключение и введение фиктивных переменных

Пусть для функции f(x₁, … x_n) переменная x_i – фиктивная. Ее можно исключить и перейти к булевой функции g(x₁, x₂, … x_i-1, x_i+1, … x_n) с n – 1 переменной. Для этого в таблице для функций вычеркнем все строки, соответствующие значениям x_i = 1 и столбец для аргумента x_i. Полученная таблица будет определять функцию g(x₁, x₂, … x_i-1, x_i+1, … x_n). При этом говорят, что функция g получена из функции f исключением фиктивной переменной x_i. Кроме того, можно сказать, что f получена из g введением фиктивной переменной x_i.

Равенство функций

Определение. Две функции называются равными, если на каждом наборе переменных значения функций совпадают.

Пример:

x	y	f(x, y)				x	g(x)
0	0	0				0	0
0	1	1				1	1
1	0	0
1	1	1

g(y) = f(x, y)

Вывод: Если одна функция получена из другой исключением или введением фиктивной переменной, то такие функции являются равными.

Замечание:

1. Существует два типа функций, которые не имеют существенных переменных. Это функции-константы: 0 и 1. Поэтому целесообразно считать эти функции зависящими от пустого множества существенных переменных.

2. Если дана конечная система булевых функций {f₁, …, f_s} P₂, то можно считать, что все s функций зависят от одних и тех же переменных.

В Алгебре логики некоторые функции принято считать элементарными.

Элементарные булевы функции от одной переменной

x	x		0	1
0	0	1	0	1
1	1	0	0	1

- инверсия (отрицание) x

Элементарные булевы функции от двух переменных

x	y	x & y	x  y	x ~ y	x  y	x  y	x / y	x  y
0	0	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0	0

x & y – конъюнкция (логическое умножение)

(x & y = 1  x = 1  y = 1)

x  y – дизъюнкция (логическое сложение)

(x  y = 0  x = 0  y = 0)

x ~ y – эквивалентность

(x ~ y = 1  x = y)

x  y – сумма по модулю 2 (разделительная дизъюнкция) ()

(x  y = 0  x = y)

x  y – импликация (логическое следование)

x / y – штрих Шеффера (антиконъюнкция) ()

x  y – стрелка Пирса (антидизъюнкция, функция Вебба, функция Даггера) ()

Формулы Алгебры логики. Суперпозиция булевых функций

Определение. Суперпозицией булевых функций f₁, …, f_n называется функция f, полученная с помощью подстановок этих функций друг в друга и переименованием переменных. Выражение, описывающее эту суперпозицию называется формулой алгебры логики.

(Лекция 8)

Если функция f соответствует формуле A, то говорят, что формула А реализует функцию f.

Определение. Формулы А и В называются эквивалентными (A ~ B), если соответствующие им функции эквивалентны: f = g (f ~ A, g ~ B).

Пусть f₁(x) = , f₂(x, y) = x & y, f₃(x, y) = x  y, f₄(x, y) = x  y.

f(x, y, z) = f₃(f₂(x, z), f₁(f₄(y, z)) – суперпозиция

- формула Алгебры логики

Таблица:	x	y	z	x & z
	0	0	0	0	0	0
	0	0	1	0	0	0
	0	1	0	0	1	1
	0	1	1	0	0	0
	1	0	0	0	0	0
	1	0	1	1	0	1
	1	1	0	0	1	1
	1	1	1	1	0	1

Свойства элементарных булевых функций (Законы алгебры логики)

1. Коммутативность:

x & y = y & x x / y = y / x

x  y = y  x x  y = y  x

x  y = y  x x  y  y  x

x ~ y = y ~ x

2. Ассоциативность:

x & (y & z) = (x & y) & z x  (y  z)  (x  y)  z

x  (y  z) = (x  y)  z x / (y / z)  (x / y) / z

x  (y  z) = (x  y)  z x  (y  z)  (x  y)  z

x ~ (y ~ z) = (x ~ y) ~ z

3. Дистрибьютивность:

x & (y  z) = (x & y)  (x & z) (Дистрибьютивность конъюнкции относительно дизъюнкции)

x  (y & z) = (x  y) & (x  z) (Дистрибьютивность конъюнкции относительно дизъюнкции)

(x  y) & z = (x & y)  (x & z)

(x & y)  z  (x  y) & (x  z)

4. Двойное отрицание:

5. Законы де Моргана:

6. x & x = x x  x = x x  x = 0 x ~ x = 1 x  x = 1

x & = 0 x  = 1 x  = 1 x ~ = 0 x  =

x & 0 = 0 x  0 = x x  0 = x x ~ 0 = x  0 =

x & 1 = x x  1 = 1 x  1 = x ~ 1 = x x  1 = 1

0  x = 1

1  x = x

7. Выражение эквивалентности другие операции:

x ~ y = = x  y  1

x ~ y = ( y) & (x  )

x ~ y = (x & y)  ( & )

8. Выражение суммы по модулю 2 через другие операции:

x  y = (x &)  (& y)

9. Выражение импликации через другие операции:

x  y =  x  y = x & y  x  1

x  = y  x  y =  y

x  y =

10. x  (y & z) = (x  y) & (x  z)

(x & y)  z = x  (y  z)

x  y = (x  y)  y

11. Законы поглощения:

x & (x  y) = x

x  (x & y) = x

Доказательство: 1) x  (x & y) = (x & 1)  (x & y) = x & (1  y) = x & 1 = x.

2) x & (x  y) = (x & x)  (x & y) = x  (x & y) = [по пункту 1] = x.

Порядок действий в формулах алгебры логики

Если в выражениях нет скобок, то очередность выполнения логических операций следующая:

1. «отрицание»;

2. «конъюнкция»;

3. «дизъюнкция»;

4. «сумма по модулю 2» и «эквивалентность»;

5. «логическое следование».

Пример:

С помощью законов алгебры логики можно упрощать исходные формулы и получать новые.

Существует еще один способ для получения тождеств алгебры логики. Он основан на использовании принципа двойственности.

Принцип двойственности

Определение. Функция f^*(x₁, …, x_n) =называется двойственной функции f(x₁, …, x_n).

Пример: (построение функции, двойственной к исходной)

x	y	z	f(x, y, z)
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	1	0
0	1	0	1	0	1
0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1
1	0	1	0	1	0
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	0	1

Таблица для двойственной функции f^*(x, y, z) при упорядоченном наборе значений переменной получается из таблицы для функции f(x, y, z) построением функции отрицания и переворачиванием столбца значений от функции .

Таблица функций, двойственным к элементарным:

0		0*	1		1*		x		x*
0	1	1	1	0	0		0	1	0	0	1
							1	0	1	1	0

0^* = 1 1^* = 0 x^* = x

x	y	x & y		(x & y)*		x	y	x  y		(x  y)*
0	0	0	1	0		0	0	0	1	0
0	1	0	1	1		0	1	1	0	0
1	0	0	1	1		1	0	1	0	0
1	1	1	0	1		1	1	1	0	1

(x & y)^* = x  y (x  y)^* = (x & y)

Из определения двойственности вытекает:

f^** = (f^*)^* = = = f  f^** = f

Функция f двойственна к f^*

Определение. Если функция f(x₁, …, x_n) =, то функция f(x₁, …, x_n) называется самодвойственной.

Теорема двойственности

Если (x₁, …, x_n) = f(f₁(x₁₁, …, ), …, f_m(x_m1, …, )), где (x₁, …, x_n) – переменные, входящие в наборы (x₁₁, …, ), …, (x_m1, …, ), то ^*(x₁, …, x_n) = f(f₁^*(x₁₁, …, ), …, f_m^*(x_m1, …, )).

Доказательство: ^*(x₁, …, x_n)  [по определению]  = [по условию] =

= = =

= = [по определению двойственной функции] =

=

Пример: f₁(x, y) = x & y, f₂(x, y) = x  y, f₃(x) = .

 = = f₂(f₁(x₁, x₂), f₁(f₃(x₃), x₄))

^* = f₂^*(f₁^*(x₁, x₂), f₁^*(f₃^*(x₃), x₄)) = f₁(f₂(x₁, x₂), f₂(f₃(x₃), x₄)) = .

Принцип двойственности

Если формула A = C[f₁, …, f_s] реализует формулу f(x₁, …, x_n), то формула C[f₁, …, f_s], полученная из формулы f₁, …, f_s на f₁^* …, f_s^* , реализует f^*(x₁, …, x_n). Эту формулу называют двойственной к А и обозначают А^*. Для формулы А над множеством P = {0, 1, x, , &, } принцип двойственности записывается так:

«Для получения двойственной формулы надо заменить 0 на 1, 1 на 0, & на ,  на & и сохранить функции x и .»

Принцип двойственности позволяет сократить почти в два раза усилия по выводу новых тождеств при рассмотрении свойств элементарных функций.