Элементарные преобразования матриц и их свойства

Элементарными преобразованиями называют следующие действия над строками и столбцами матрицы A:

1)перестановку местами двух строк или столбцов матрицы;

2)умножение строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

3)прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца).

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы, то есть, если матрица B получена из матрицы A элементарными преобразованиями, то.

Доказательство. 1). При перестановке местами двух столбцов матрицы максимальное число линейно независимых столбцов не меняется, а значит, не меняется и её ранг.

2). Пусть матрица Bполучена из матрицыAумножениемi- ой строки на числоt0 иr(A) =k. Очевидно, любой минор матрицыB, не содержащийi- тую строку, равен соответствующему минору матрицыA, а любой минор матрицыB, содержащийi-тую строку, равен соответствующему минору матрицыAумноженному на числоt. Следовательно, минор порядкаkматрицыB, соответствующий базисному минору матрицыA, будет отличен от нуля, а все миноры порядкаk+1 матрицыB, как и все миноры порядкаk+1 матрицыA, будут равны нулю. А это значит, чтоr(B)=k=r(A).

3). Пусть матрица Bполучена из матрицыAприбавлениемi- ой строки кj-той строке иr(A) =k. Миноры порядкаk+1 матрицыB, не содержащиеj-тую строку, будут равны соответствующим минорам матрицыA, и поэтому равны нулю. Миноры порядкаk+1 матрицыB, содержащиеi- тую иj-тую строки, будут равны сумме двух нулевых определителей. Один из этих определителей содержит две одинаковых строки (вj-той строке расположены элементыi–той строки), а второй определитель является минором порядкаk+1 матрицыAи поэтому равен нулю. Миноры порядкаk+1 матрицыB, содержащиеj-тую строку, но не содержащиеi-тую строку, будут равны сумме двух миноров порядкаk+1 матрицыAи поэтому тоже будут равны нулю. Следовательно, все миноры порядкаk+1 матрицыBравны 0 иr(B)k=r(A).

Пусть матрица Cполучена из матрицыBумножениемi–той строки на (-1). Тогда матрицаAполучается из матрицыCприбавлениемi–той строки кj-той строке и умножениемi–той строки на (-1). Следовательно, как было доказано выше, будетr(A)r(C) =r(B). Таким образом, одновременно справедливы неравенстваr(B)r(A) иr(A)r(B) откуда следует, чтоr(A) =r(B).

Это свойство элементарных преобразований используют на практике для вычисления ранга матрицы. Для этого, при помощи элементарных преобразований, приводят данную (ненулевую) матрицу A к трапецевидной форме, то есть к виду

B = ,

где элементы для всех i = 1,2,...,k; элементыдля всех i > j и

i > k. Очевидно, что r(B) = k, то есть ранг матрицы Bравен числу ненулевых строк. Это следует из того, что минор порядка k матрицыB, расположенный на пересечении первых k строк и столбцов, является определителем диагонального вида и равен; а любой минор порядка k+1 матрицы В содержит нулевую строку, а значит, равен 0 (либо, если k = n, таких миноров нет вообще).

Теорема. Любую ненулевую матрицуAразмерностиmnможно привести к трапецевидной форме при помощи элементарных преобразований.

Доказательство.Так какA0, то существует элемент матрицы. Переставив местами первую иi-тую строки, первый иj-тый столбцы, переместим элементв левый верхний угол матрицы и обозначим. Затем кi-той строке полученной матрицы (i= 2,3, …,m) прибавим первую строку, умноженную на число. В результате этих элементарных преобразований получим матрицу

A.

Если все элементы матрицыAравны нулю, то теорема доказана. Если же существует элемент, то, перестановкой второй иi-той строк, второго иj-того столбцов матрицыA, переместим элементна место элементаи обозначим(если, тогда сразу обозначим). Затем кi-той строке полученной матрицы (i= 3, …,m) прибавим вторую строку, умноженную на число. В результате получим матрицу

.

Продолжив этот процесс, за конечное число шагов получим матрицу B, то есть приведем матрицуAк трапецевидной форме.

Пример.Вычислим ранг матрицы



. Стрелками обозначены следующие элементарные преобразования: 1) переставили местами первую и вторую строки; 2) прибавили к четвертой строке третью; 3) прибавили к третьей строке первую, умноженную на -2, и четвертую строку поделили на 3; 4) поделили третью строку на 5 и переставили местами третью и четвертую строки; 5) к третьей строке, умноженной на -3, прибавили вторую строку и к четвертой строке прибавили третью. Видно, что матрица, полученная из матрицы А указанными элементарными преобразованиями, имеет трапецевидную форму с тремя ненулевыми строками. Следовательно, r(A) = 3.