РЕЦЕНЗЕНТ

кандидат технических наук, доцент А.Ю. Кузькин

Н 28 Кинематический анализ зубчатых механизмов : метод. указ. к лабораторной работе по ТММ /авт.-сост. Е. И. Никитин, Н. П. Кузнецов ; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2012. – 21 с.

В методических указаниях изложена аналитическая методика кинематического анализа зубчатых механизмов с неподвижными и подвижными осями зубчатых колёс. Рассмотрены как планетарные, так и дифференциальные механизмы

Методические указания предназначены для студентов специальностей 151001 «Технология машиностроения» , 190601 «Автомобили и автомобильное хозяйство» , 110301 «Механизация сельского хозяйства», 50502 «Технология и предпринимательство», направлений подготовки 151900 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств», 190600 «Эксплуатация транспортнотехнологических комплексов», 110800 «Агроинженерия» всех форм обучения.

УДК 621.011(075.8)

© Новгородский государственный университет , 2012 © Е. И. Никитин, Н.П. Кузнецов, 2012

3

6

При одинаковых направлениях ωk и ωm передаточное отношение положительно (рис.2б – внутреннее зацепление), при противоположных – отрицательно (рис.2а - внешнее зацепление').

В простейшем трехзвенном механизме зубчатые колеса n и m образуют зацепление друг с другом. Обычно боковые профили зубьев

где zk и zm – числа зубьев колес k и m. Знак отношения соответствует виду зацепления («минус» для внешнего, «плюс» – для внутреннего).

Передаточное отношение, осуществляемое одной парой зубчатых колес, имеет предел, превышение которого ведёт к неоправданному росту габаритов передачи и, следовательно, её массы.

Для получения больших передаточных отношений, применяют последовательное соединение рассмотренных простейших трехзвенных механизмов. При таком соединении выходное звено одного механизма соединяется жестко с входным звеном другого и т.д. Образуются сложные зубчатые механизмы называемые многоступенчатыми зубчатыми механизмами (или передачами).

Рассмотрим механизм, в котором оси зубчатых колес вращаясь, не перемещаются в пространстве, т.е. неподвижны (рис.3).Обозначим

угловую скорость колеса 1 через ω1 , колес 2 и 2' - (образующих вместе с осью одно звено – блок 2) через ω2 , колес 3 и 3' - через ω3 колеса 4 - через

ω4 (рис. 3а).

По определению передаточного отношения

Очевидно, что вращение колеса 1 передается на колесо 2. Далее с колеса 2' на колесо 3, а с колеса 3' – на колесо 4 (рис.3б). Таким образом, передаточное отношение каждой ступени преобразования вращения можно записать в виде

В рассматриваемом механизме колесо 1 является входным звеном, колесо 4 – выходным. Остальные звенья – блоки 2, 3 – промежуточными. Умножим и разделим правую часть выражения (2) на угловые скорости промежуточных звеньев

7

Очевидно, в правой части последнего выражения можно осуществить перегруппировку членов:

Рис.3

Рис.4

Таким образом, в многоступенчатом зубчатом механизме с неподвижными осями зубчатых колес общее передаточное отношение равно произведению передаточных отношений отдельных ступеней, осуществляющих преобразование вращения от входного к выходному звену. На основании выражений (1) и (6) запишем искомое отношение через числа зубьев:

Если числа зубьев колес, составляющих одно звено, одинаковы, то передаточное отношение механизма не зависит от этих чисел зубьев. Например, если на рис.3 имеем z3 = z3′ , то на основании выражения (7)

Обычно такое звено выполняют лишь с одним зубчатым венцом, но зацепляющимся с обоими колесами соседних звеньев (колесо 3 на рис.4). Это колесо служит для изменения направления вращения последующих звеньев последовательного ряда передач без изменения общего передаточного отношения. Его в технике называют "паразитным", что по отношению к этому колесу не вполне заслуженно.

1.2 Зубчатые механизмы с подвижными осями зубчатых колес

Рассмотрим многозвенные механизмы, в которых ось, хотя бы одного звена перемещается в пространстве. В зависимости от числа степеней свободы механизма – W, различают планетарные (W = 1) и дифференциальные механизмы (W≥ 2). Для определения степени подвижности плоских механизмов используется формула П.Л. Чебышева.

где n – число подвижных звеньев рассматриваемого зубчатого механизма (с неподвижными и подвижными осями зубчатых колес), p5 , p4 – соответственно число кинематических пар 5-го и 4-го классов. Каждое зубчатое зацепление с линейным контактом поверхностей зубьев является парой 4-го класса. Остановимся подробнее на кинематике планетарных механизмов.

На рис.5а и 5б представлены два варианта изображения кинематической схемы механизма с подвижными осями зубчатых колес. Колесо с подвижной осью называют сателлитом (на рис.5а и 5б сателлиты

2 и 2' образуют одно звено – блок сателлитов). Звено, несущее на себе

9

опоры сателлитов, называют водилом (на рис.5а и 5б, водило – звено 4).На кинематических схемах водило обычно обозначают латинской буквой – Н (от немецкого Hebel – рычаг). Зубчатые колеса, оси которых совпадают с центральной осью симметрии механизма, называют центральными (на рис.5 центральное подвижное колесо – 1 называют солнечным, а неподвижное 3 – опорным). Колесо 3 в механизме является стойкой. Определим степень подвижности механизма, изображенного на рис.5. Число подвижных звеньев механизма равно 3 (звено 1, блок сателлитов 2- 2', водило – Н). Число кинематических пар 5-го класса равно 3 (пары: стойка 3 – колесо 1, водило Н – блок сателлитов 2 и 2', водило Н – стойка 3). Число кинематических пар 4-го класса равно 2 (зацепления: колеса 1,2 и колеса 2',3). После подстановки полученных значений в правую часть выражения (9), получим

W=3·3 – 2·3 –1·2 = 1 .

Таким образом, рассматриваемый механизм является планетарным. Рассмотрим далее аналитический метод определения передаточного

отношения в планетарных механизмах. При этом используется формула Виллиса

где uk(Hm) – передаточное отношение от звена k к звену m в механизме с остановленным водилом H. В дальнейшем будем называть такой механизм обращенным. Верхний индекс Н при передаточном отношении uk(Hm)

указывает, что водило рассматривается как стойка, т.е. его присутствие указывает, что передаточное отношение относится к обращённому механизму.

Формула (10) получена с использованием метода обращения движения, суть которого состоит в следующем. Пусть при работе механизма, изображенного на рис.5б, водило вращается с угловой

скоростью ωН , колесо 1 – со скоростью ω1 , блок сателлитов 2 и 2' – со

скоростью ω2 .

Одновременно, вокруг оси водила, которая совпадает также с осями центральных зубчатых колес 1 и 3, будем мысленно вращать весь

механизм с дополнительной угловой скоростью, равной – ωН (т.е. равной ωН, но противоположно ей направленной).

10

Рис.5