Сопротивление материалов / сопромат факультета Н / лаб 1-3

9

Лабораторные работы 1-3

Основные механические константы и свойства материалов

Формулировка задания

1 .Определить модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона n.

2. Построить диаграммы растяжения материалов и определить их механические свойства - условные (s_в, s_0,2, s_р, d, y) и истинные(s_и, e).

3 (при своевременной сдаче отчета не требуется). Сравнить результаты с характерными справочными данными.

Закон Гука - модуль Юнга - коэффициент Пуассона - диаграмма растяжения

Итак, через физику прочности мы вышли на закон Гука, по приложенному напряжению через модуль Юнга в состоянии определить продольную деформацию

,

по ней через коэффициент Пуассона - поперечную. Три великих связаны между собой механикой, но разделены полутора столетиями.

1.3. З а к о н Г у к а , м о д у л ь Ю н г а и к о э ф ф и ц и е н т П у а с с о н а

Первопроходец Роберт Гук (Hook, 1635-1703) - разносторонний физик и  инженер - совместно с Гюйгенсом установил постоянные точки термометра - таяния льда и кипения воды,  усовершенствовал основные научные приборы (барометр, телескоп, микроскоп), ввел в научный обиход термин "клетка". Мало того, Гук хорошо знал строительное дело и архитектуру, был превосходным администратором. Когда в 1666 пожар уничтожил большую часть Лондона, он принял должность главного инспектора по восстановлению города, восемь лет спустя Лондон восстал из руин. Гук был на редкость общительным человеком, был завсегдатаем популярных кафе, беседовал людьми самых различных положений и профессий. Он дружил с известным часовщиком Томпсоном и в разговорах с ним понял:  часовая пружина - лишь частный  случай поведения любого твердого тела, упругость  является свойством всякой конструкции. Его претензии на приоритет  оговорены в работе "Десяток изобретений, которые я намерен опубликовать". Среди десяти - "Истинная теория упругости и  жесткости" с подзаголовком "Ceiiinosssttuu". Замысловатую  анаграмму (в данном случае - сочетание из букв зашифрованной фразы) он раскрыл спустя три года на латинском: "Ut tensio sic uis "- каково удлинение, такова и сила… (слайд 13).

 = Е , (3)

Скромная зависимость - знаменитый закон Гука в последней редакции, краеугольный камень проектирования.

Простота формулы и название Е провоцируют воспринимать его как банальный множитель пропорциональности между напряжением и деформацией. Отнюдь, модуль упругости имеет, как мы видели, конкретное физическое содержание – темп изменения внутрикристаллических сил при выводе атомов из равновесного положения . Это физическая константа вещества. Более того, как мы еще увидим, важнейшая константа, от которой зависят другие характеристики вещества – как механические (теоретическая прочность), так и тепловые (теплопроводность).

Первым осознал многозначительную роль Е и ввел в обиход термин «модуль упругости материала» Томас Юнг (Young, 1777-1829) - рис. 3 –портреты. Юнг обращал на себя внимание буквально с пеленок – начал читать с 2-х лет, в девять стал заниматься языками, в 14 владел девятью (в том числе, латинским, древнегреческим, персидским, арабским). Отсюда его успехи в расшифровке египетских иероглифов. Но он известен, прежде всего, как один из создателей волновой теории света и первооткрыватель принципа интерференции (наложения волн с периодическим гашением и усилением света). Тем не менее, его "сократили" в учебном Королевском институте из-за "оторванности от практики" и не понятного для слушателей изложения, и с тех пор до конца жизни Юнг работал главным врачом  одной из лондонских больниц, хотя пациенты не слишком жаловали его из-за нерешительности. Медицинская практика подтолкнула его к открытию дальтонизма (неспособность различать красное и зеленое). Но это обессмертило имя не врача Юнга, а физика Дальтона, который был первым, у кого такой дефект обнаружили. С модулем упругости тоже не все прошло гладко. Идея была изложена в столь  замысловатой статье, что редакция ответила ему: "Хотя их светлости весьма уважают науку и очень ценят Вашу статью, она слишком учена... короче говоря, она непонятна." Но Юнг не делал из препятствий трагедии, он был светским человеком, блистал в обществе остроумием, преуспел в живописи и верховой езде, музицировал практически на любых инструментах. И не был забыт потомками. Отдавая должное его заслугам, модуль упругости именуют еще модулем Юнга.

Юнг выступил как продолжатель дела Гука. Гук догадался, что линейная связь нагрузки и деформации, которую они с часовщиком Томпсоном усмотрели в часовой пружине, присуща и другим конструкциям. А Юнг понял - конструктивные особенности “погоды не делают “, тон задает материал. Но на такое понимание потребовалось более ста лет: Гук это конец 17 века, Юнг – начало 19-го. Не без горечи надо признать, что по крайней мере четверть века – на совести Ньютона, который постарался дискредитировать наследие Гука.

Гук – современник Ньютона. Эти великие ученые - люди совершенно разного склада: одного больше интересовали практические задачи, другого общие законы; один – жизнелюб, «не пропустивший ни одной служанки», другой – аскет, чуждый плотским радостям; один - личный друг короля, другой почитал за честь получить должность директора монетного двора. Оба были членами Королевского общества ( единственными, кто не платил взносы, поскольку поддерживал авторитет организации научными трудами), ревниво относились к достижениям коллеги и не жалели красок для очернения друг друга…(рассказать). После кончины Гука Ньютон занял его пост президента Королевского общества, и оставшиеся 25 лет жизни употребил на то, чтобы затоптать сделанное Гуком (задавил последователей, уничтожил экспериментальные установки и даже единственный портрет Гука).

Так как деформация - величина безразмерная, модуль упругости измеряется в одинаковых с напряжением единицах - МПа. А поскольку числовые значения Е могут быть на два - три порядка больше, прибегают и к более крупной размерности - гигапаскаль ГПа = 10³ МПа = 10⁹ Па.

Модуль упругости для материалов указан в приложении 2. Вверху- металлы и керамика, внизу –резины и биологические материалы. Сухожилие ближе к резинам, кость - к бетону, стеклу, граниту. Диапазон Е - 6 порядков ! В таблице не представлены крайности : углерод с решеткой алмаза (10⁶ МПа), ткани кровеносных сосудов – (менее 1 МПа). Мы должны благодарить природу за такую нижнюю границу - опасное превышение  гидравлического сопротивления при кровообращении гасится немедленным увеличением диаметра аорты, вены, капилляра.

При этом, конечно, длина сокращается. А если, как на рис. 14-2, продольный размер увеличивается на L₁, то поперечный уменьшается на L₂, т.е. продольная деформация ₁= L₁/ L_l обязательно сочетается с поперечной деформацией ₂ = L₂/ L₂. Но главное заключается вот в чем: при простом растяжении или сжатии отношение поперечной деформации к продольной для каждого материала в пределах закона Гука остается постоянным.

Такую закономерность обнаружил Пуассон, теперь это отношение, взятое по абсолютному значению, называют его именем:  коэффициент Пуассона   или 

(4)

Симеон Дени Пуассон (Poisson - Рыба, 1781 - 1840) – рис.5  заслужил известность трудами в математике, математической физике, механике. В частности, его имя носит распространенное уравнение в частных производных. Он происходил из бедной семьи, в детстве систематического  образования не получил, но школьный экзамен выдержал с отличием. И не зря «маленькой рыбке» учителя предсказали большое плавание. В Политехнической школе его выдающиеся способности отметили Лагранж и Лаплас. Они же поняли его полную неспособность к черчению и добились замены инженерной графики математикой. Уже в 31 год он стал академиком (во Франции - одна из  наивысших почестей) за работы по теории  упругости, был членом или член-корром почти всех европейских и американских академий..

Пуассон ошибочно полагал, что  имеет единое для всех значение 0,25. На самом деле для значительного большинства материалов   находится в пределах 0,25-0,35, поэтому обычно  допустимо принимать  = 0,3.

Однако, надо отдавать себе отчет в том, что предельный диапазон шире - от 0 до 0,5. Сравнительно низкое  значение  ≈0.2 в группе стекло – бетон- графит, минимальное (0,02) у примечательного во многих отношениях бериллия Ве и обыкновенной пробки (именно поэтому она является идеальной закупоркой (вписывается в горлышко без утолщения).  На другом полюсе ( = 0,45) – два металла: хорошо известный свинец и экзотический индий In ( Т_пл = 156 ⁰С, отличная смачиваемость - припои для керами

ки и стекол; пластичнее свинца - царапается ногтем, сжимается по высоте почти на 100%, применяется для уплотнений, покрытий в подшипниках; для легирования полупроводников - обеспечивает дырочную проводимость), полупроводник селен Se, дерево и, наконец, резина ( = 0,5).

А может ли быть больше? Нет, не может. Ведь поперечная деформация происходит в двух взаимно перпендикулярных направлениях, на одно продольное растяжение два поперечных, (рис.14-2). При сохранение объема было бы ε₁=2ε₂, но растяжение чуть-чуть разрыхляет материал, сжатие чуть-чуть уплотняет. Поэтому

Запомните, значение 0,5 является максимальным, резина и пробка - на противоположных флангах, и это отчетливо проявится при попытке их ужать (резинка и пробка в плоскогубцах). Такое категорическое ограничение (  0,5) распространяется только на изотропные материалы. У волокнистых вроде дерева, тканей, коэффициент Пуассона зависит от направления волокон и может даже приближаться к 1.

Но все справедливо лишь для обратимой, то бишь, упругой деформации. А ведь, за малым исключением, материалы способны на большее. На сколько же? И как соотносятся между собой напряжения и необратимые, т.е. пластические деформации?

На эти вопросы отвечает график -, который записывают в процессе испытаний на растяжение. Эта своего рода визитная карточка материала именуется диаграммой растяжения. Процедура испытаний описана в любом учебнике  по сопротивлению материалов и регламентирована государственным стандартом (вот такая брошюра объемом 40 с - показать ГОСТ).

Как правило, используют образцы круглого сечения с резьбовой или гладкой головкой (показать три типа), но листовые полуфабрикаты или материал тонкостенных деталей проверяют на плоских образцах соответствующей толщины (показать три варианта -1, 3,6 мм). Габариты  образцов зависят от условий  сопряженных экспериментов, если таковые проводятся. Допустим, образцы, которые были или будут подвергнуты интенсивному нейтронному облучению, приходится делать заведомо малых размеров из-за недостатка места в активной зоне ядерного реактора (показать образец Кузнецова). Для образцов, рассчитанных на работу в активной среде, задают такую форму, которая позволяет лучше почувствовать влияние коррозии на механические свойства (показать образцы Л.И. и малого диаметра).

Размер образца может повлиять на результаты испытаний – в больших выше вероятность «приютить» скрытый дефект, так что предельные напряжения и деформации здесь несколько ниже. Поэтому при сравнении материалов их надо проверять на одинаковых образцах, лучше кругового сечения. Типичный диаметр - примерно 4-5 мм, длина рабочей части - не менее пяти диаметров (чтобы исключить влияние головок). Головки закрепляют в захваты  испытательной машины и тянут в разные стороны с одновременной записью приложенной силы Р и текущего перемещения L в виде графика “нагрузка Р - удлинение L”. Эти параметры переводят затем в напряжение  (делением Р на исходную площадь поперечного сечения F₀) и деформацию ¯L (делением L на исходную длину рабочей зоны L₀). Это и есть условная диаграмма растяжения  - ¯L (рис. 1 -12).

Условная? За что ж ее наградили таким сомнительным эпитетом? За обработку экспериментальных данных на основе исходных значений длины и площади - ведь они же в процессе деформации меняются, образец вытягивается и худеет. Мы найдем способ учесть эти обстоятельства, а сейчас главная задача - освоить представленную диаграмму. На оси ординат – напряжения, характерные выделены различными нижними индексами, на оси абсцисс- деформация с двумя составляющими- упругой ¯L_у и пластической (текущее значение δi, предельное значение δ).

Прямолинейный характер начального участка нетрудно предугадать: ведь пока деформация упругая и растет по закону Гука пропорционально напряжению

, ,

тангенс угла наклона пропорционален модулю упругости Е. Напряжение в конце прямой линии называют пределом пропорциональности _п. Далее деформация еще остается упругой, хотя и отступает от закона Гука. Поскольку упругие деформации ничтожны, границу упругости зарегистрировать нет возможности, и ее оценивают условно, как напряжение, при котором удается почувствовать “проблески” необратимой деформации. Это получается, начиная с уровня 0,001% (10^-5). Напряжение, которое такую деформацию вызывает, именуют пределом упругости _у.

Выше этого значения начинается необратимая, т.е. пластическая, деформация. Важное обстоятельство – пластическая не сменяет упругую, а накладывается на нее. Все, что происходит дальше – упруго-пластическая деформация, они расчленяются только при сбросе нагрузки: упругая исчезает, пластическая легкой жизнью не соблазняется и остается на достигнутом уровне.

С увеличением нагрузки эти компоненты ведут себя по-разному - упругая возрастает пропорционально, пластическая с ускорением и сюрпризами. С некоторых пор она развивается даже при практически неизменной нагрузки (говорят, “материал потек”). Напряжение, при котором наблюдается такое явление, - знакомый нам предел текучести _т, а участок, можно сказать, “бесплатной” пластической деформации, называют площадкой текучести. Площадка текучести совсем не велика, часто явно не выражена, и приходится рассматривать условный предел текучести ₀,₂ -напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,2% (δ_т = 2*10^-3).

Полное, вплоть до разрушения, удлинение образца может быть на два порядка больше и составлять десятки процентов (сравнить исходный образец с составленным из половинок разорванного). В процессе такой пластической деформации материал обычно становится все прочнее и прочнее, для деформации нужна все большая сила, напряжение увеличивается.

В то же время по мере удлинения образец утоняется, и нагрузка становится для него непомерной. В результате наступает перелом, с ростом деформации усилие начинает снижаться. Напряжение, при котором это событие происходит, называют пределом прочности или временным сопротивлением _в. За этим рубежом кривая клонится все больше и больше, минимум напряжения _р – напряжение при разрыве (сопротивление разрыву S). Такое название ассоциируется у студентов с предельной прочностью материала, это заблуждение надо сразу искоренить - видно же, что _р значительно ниже максимума.

Подчеркнем еще раз: предел прочности (временное сопротивление) _в - верхняя точка рассматриваемой диаграммы растяжения и едва ли не самая употребительная характеристика материала. Приведенные в приложении 3  значения _в для основных конструкционных материалов группируются, главным образом, в интервале 300-1000 МПа. А насколько прочны окружающие нас вещи, “детали” нашего собственного организма? Стенки желудка, кишечника, артерий - примерно 1 МПа, кожа-40 МПа. Сухожилия, кость - порядка 100 МПа, максимум – волоса (190 МПа - рис.2-269, коса с грузовиками). Ткани на природной основе могут соревноваться с конструкционными металлами: шелк, хлопковое волокно - 350, льняное - даже 700 МПа. Взгляните на приложение 3 - лен прочнее многих сталей и сплавов. Конечно, есть и высокопрочные металлические материалы. Мартенситностареющие стали выдерживают 2500 МПа, рекорд в этой группе у Н8К18М14 - 3500 МПа. Абсолютное первенство – за вольфрамовой проволокой – 4200 МПа (все-таки показать штапик).

Пределы прочности и текучести _в, _т непременно приводятся во всех технических справочниках вместе со столь же уважаемыми характеристиками пластичности  и  (приложение 3). А это что такое? Начнем издалека, с разгрузки образца во время испытаний на  растяжение. Если дать «задний ход» поспешно, не дойдя еще до предела упругости, образец будет сокращаться, как полагается по закону Гука, пропорционально снижающейся нагрузке, кривая - ¯L возвратится по собственной линии в начальную точку. Отрезки в пределах L_у (двойная зеленая линия) представляют собой  деформацию возвращенную, т. е. упругую.

А если снимаем нагрузку за пределом упругости? Ситуация повторяется, теперь с полным возвращением упругой деформации (зеленые отрезки на оси абсцисс). Образец сжимается пропорционально снижающемуся напряжению по прямой, параллельной начальному участку. Запомните, упругая деформация отнюдь не исчезает за пределом упругости. Только теперь ее маскирует пластическая составляющая. Упругую можно высветить лишь по «съеживанию» образца при снижении напряжения. Она тем больше, чем выше приложенное напряжение, и может проявить себя в любой зоне диаграммы растяжения. Сам разрыв не является исключением – нагрузка сброшена, и образец мгновенно укорачивается на

А то, что остается, - свидетельство пластической деформации. Сохранившая после разрыва деформация обозначается буквой . Если длина образца в исходном  состоянии L₀, после разрушения - L_, то

(1)

Такое отношение называют относительным удлинением после разрыва, оно характеризует остаточную продольную деформацию.

В свою очередь,  характеризует поперечную деформацию через площадь поперечного сечения образца в исходном состоянии (F₀) и после разрыва (F_):

(2)

 - это доля потерянной к моменту разрыва площади F и называется  относительным сужением площади поперечного сечения после разрыва.

Типичные значения ,  находятся в интервале от 3 до70 % (грамотнее, 0,03- 0,70). Разумеется, у хрупких тел, вроде стекла, они равны нулю, у весьма пластичных ψ → 1 (благородные металлы – 90%, свинец - 100%). При равномерной деформации, исходя из условия сохранения объема (L*F)_* = (L*F)₀ , приходим к простым соотношениям между δ и ψ:

(3)

Полученные зависимости – мостик между условными и истинными свойствами. Условные получают делением параметра (N, L) на исходные размеры (F₀, L₀), для истинных принимают размеры, сложившиеся к моменту разрушения. Как перейти от условного напряжения при разрыве, снятого с диаграммы, к истинной прочности? Достаточно увеличить _р сообразно сокращению поперечного сечения:

(4)

Истинная деформация наращивается в процессе постепенного удлинения, ее определяют посредством интегрирования, как мы делали на первом же занятии:

текущее значение

=

предельное значение

.    (5)

При <<1 ln (1 +)  , так что истинная диаграмма растяжения вначале совпадает с условной, но по мере сужения и удлинения образца располагается все выше (показана на рис. 1-12 пунктиром). Истинные параметры _и и  оказываются заметно больше условных.

Определенное таким путем значение _и верно отражает подлинную прочность материала, но формула (5) такой лестной оценки не заслуживает. Ей можно верить только при равномерной по всей длине деформации образца. На самом же деле при растяжении обычно наблюдают сильное утонение в центральной части – образуется так называемая шейка (рис.3 -268). Центр работает до предела, а прилегающие зоны – слегка. Если зафиксировать продольные размеры, получим  искаженное представление о способности материала деформироваться. Поэтому  объективный показатель пластичности - относительное сужение после разрыва . Сравнивая материалы справочнику, не отвлекайтесь на , заслуживает внимания только . А если требуется знать максимально возможное удлинение, оценивайте 1+ через  по формуле (3) и подставляйте в (5): (6)

Это значение показывает, насколько мог бы удлиниться образец при равномерной деформации до диаметра, зафиксированного в шейке (рис. 4-407). Таким образом воспроизводится предельное удлинение материала в конструкции.

Рассмотренная обязательная четверка механических характеристик в приложении 3 дает представление об их значениях для конструкционных материалов. Обычно данные относятся к состоянию промышленной поставки. Иное состояние оговаривают, как это сделано для молибден-рениевого сплава, идущего в приборостроении на изготовление упругих элементов.

Если обратиться к  общетехническим справочникам, для ряда материалов вместо упомянутой четверки увидим один предел прочности _в. Почему? Потому что они разрушаются практически в упругом состоянии, нет у них ни текучести, ни остаточной деформации. Такие материалы называют хрупкими, к ним относятся керамика, стекло, бетон, кирпич, гранит и другие природные минералы. На сжатие хрупкие материалы работают гораздо лучше, но и в этом случае особые черты разрушения сохраняются, равно как и “куцая” диаграмма  растяжения, которая обрывается едва ли не на прямой линии.