Лабораторная работа № 13 исследование свободных колебаний в колебательном контуре

Цель работы — исследование затухающих электромагнит­ных колебаний и определение характеристик затухания.

Приборы и принадлежности: колебательный контур и ус­тановка для возбуждения свободных колебаний в контуре, электронный осциллограф.

Краткие сведения из теории

Колебательный контур состоит из последовательно соеди­ненных конденсатора с емкостью С и катушки индуктивностью L и омическим сопротивлением R (13.1).

Рис. 13.1

При свободных электромагнитных колебаниях в контуре полная энергия колебаний складывается из энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки индуктивности. По закону сохранения энергии, убыль энергии электромагнитного поля за некоторый промежуток времени dt равна приращению за это же время количества выделившегося тепла, если можно пренебречь потерями на излучение:

, (13.1)

где U – мгновенное значение падения напряжения на конденсаторе; I=dq/dt=C(dU/dt) – мгновенное значение силы тока.

Из выражения (13.1) можно получить дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

. (13.2)

обозначим R/L  2 и 1/LC  ₀², где  =R/2L – коэффициент затухания; ₀ – собственная частота колебаний колебательного контура, равная частоте свободных незатухающих колебаний при R0. Тогда уравнение (13.2) приводится к виду

.

Если   ₀, т.е. затухание мало, то решение этого уравнения представляет затухающий колебательный процесс:

, (13.3)

где .

Если ² << ₀² , то в расчетах можно считать, что   ₀ = 1/.

График затухающих колебаний представлен на рис.13.2. Затухающий колебательный процесс не является периодическим, периодически повторяются лишь нулевые значения падения напряжения на конденсаторе.

Рис.13.2

Наименьший промежуток времени между двумя моментами, когда колеблющаяся физическая величина проходит через нулевое значение в одном направлении, называется периодом затухающих колебаний: Т = 2/. В соответствии с видом функции (13.3), затухающее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой  и амплитудой, убывающей по экспоненциальному закону: , гдеU_a0 – амплитуда колебаний в начальный момент времени. Пунктирная кривая на рис 13.2 дает график зависимости амплитуды колебаний U_a от времени. Затухание колебаний описывают с помощью логарифмического декремента затухания, который характеризует уменьшение амплитуды за период:

.

Логарифмический декремент затухания является характери­стикой контура, так как зависит от параметров контура L, С, R:

.

Колебательный контур часто характеризуют его добротно­стью Q, которая обратно пропорциональна логарифмиче­скому декременту затухания:

. (13.4)

Энергия колебаний уменьшается с течением времени, так как на сопротивлении R выделяется джоулево тепло. В мо­менты времени, когда

,

напряжение на конденсаторе достигает максимального (ам­плитудного) значения U_а и полная энергия колебаний равна энергии заряженного конденсатора W=CU_a²/2. Следовательно, полная энергия колебаний убывает по экспоненциальному закону:

, (13.5)

где W₀ — энергия колебаний в начальный момент времени. Относительное уменьшение энергии за период равно:

. (13.6)

Если 2<<1, то е^-2  1– 2 и W/W  2 = 2/Q.

Таким образом, при слабом затухании добротность контура с точностью до множителя 2 равна отношению энергии, запасенной в контуре, к убыли этой энергии за период: Q = 2W/W.