Вероятность безотказной работы мажоритарной системы
m |
n | ||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
1 |
p |
2p-p2 |
3p-3p2+p3 |
4p-6p2+4p3-p4 |
5p-10p2+10p3-5p4+p5 |
2 |
- |
p2 |
3p2-2p3 |
6p2-8p3+3p4 |
10p2-20p3+15p4-4p5 |
3 |
- |
- |
p3 |
4p3-3p4 |
10p3-15p4+6p5 |
4 |
- |
- |
- |
p4 |
5p4-4p5 |
5 |
- |
- |
- |
- |
p5 |
В мостиковых системахпараллельные ветви элементов соединены между собой другими элементами. В простых случаях расчет надежности мостиковой системы может быть проведен методом прямого перебора, но с учетом положения элементов в схеме.
Если схема системы не сводится к одному из простых видов соединений, прибегают к логико-вероятностному методу ее анализа, в котором применяется аппарат математической логики. Логико-вероятностный анализ состоит в разработке формальной модели системы в виде соотношений алгебры логики, определяющей условия работоспособности/неработоспособности системы. Каждый i-й элемент может находиться в одном из несовместных событий: работоспособномaили неработоспособномсостоянии. Рассмотрим пример простой мостиковой системы (рис. 2.1).
ЗАДАНИЕ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 2
Проанализировать надежность системы, изображенной на рис. 2.2. Составить логические формулы работоспособного и неработоспособного состояний. Найти выражение для вероятности безотказной работы системы P(A) и ее значение по известным значениям вероятности безотказной работы элементовpi. Составить дерево отказов.
Рис. 2.2. Расчетная система
Варианты
Вариант |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
p1 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
0,9 |
0,8 |
p2 |
0,9 |
0,8 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
0,8 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
p3 |
0,7 |
0,9 |
0,8 |
0,9 |
0,6 |
0,9 |
0,9 |
0,8 |
0,7 |
0,8 |
Вариант |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
p1 |
0,7 |
0,6 |
0,7 |
0,6 |
0,9 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
p2 |
0,6 |
0,6 |
0,7 |
0,6 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
0,9 |
0,7 |
0,7 |
p3 |
0,7 |
0,6 |
0,7 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
0,6 |
Решение. Логическая формула работоспособного состояния
.
Логическая формула неработоспособного состояния
.
Вероятность безотказной работы системы вычисляется на основе теорем сложения и умножения вероятностей:
.
В нашем случае P(A)=1 – (1 –pA1)(1 –pA2)= pA1 + pA2 - pA1pA2= (pA1=p1p3, pA2=p2p3)= p1p3+p2p3-p1p2p3=p3(p1+p2-p1p2). При равной надежности элементов системыР(А)=р2(2–р).
Примечание: При переходе от логических формул к алгебраическим операциям умножения вероятностей следует учитывать, чтоaiai≡ai.
ОТВЕТЫ
Варианты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Р(А) |
0,68 |
0,85 |
0,70 |
0,79 |
0,53 |
0,83 |
0,78 |
0,70 |
0,68 |
0,75 |
Варианты |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Р(А) |
0,62 |
0,50 |
0,64 |
0,59 |
0,67 |
0,58 |
0,59 |
0,59 |
0,58 |
0,56 |