10.3 Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений n-го порядка имеет вид:

или в матричном виде:

AX=B ,

где ,,

Корнями системы являются такие значения x₁, x₂,…x_n, подстановка которых превращает уравнения системы в тождества.

Матричный метод. Зная матрицу A можно вычислить обратную матрицу A^-1, затем умножить ее на систему: A^-1AX=A^-1B.

Получится: X=A^-1B . Элементы вектора X и являются корнями системы линейных уравнений.

Чтобы решить систему в приложении Mathcad матричным методом надо записать коэффициенты системы − матрицу A. Далее задаётся вектор B и записывается формула для определения корней

X:=A^-1B

Корни вычисляются после набора выражения: X=

В приложении Excel также можно использовать матричный метод. Пусть имеется система линейных уравнений третьего порядка. Первоначально необходимо ввести элементы матрицы А, например, в ячейки А1:С3. Затем − вектор В, например, в ячейки Е1:Е3. Далее следует выделить диапазон ячеек для вычисления корней, например G1:G3 и в строке состояния набрать формулу:

=МУМНОЖ(МОБР(A1:C3);E1:E3)

После ее набора нажать не одну клавишу ввода, а вместе три клавиши: Shift-Ctrl-Enter. В ячейках G1:G3 появятся корни системы линейных уравнений.

10.4 Содержание заданий

1. Вычислить определенный интеграл для данных, приведенных в табл. 10.1 в приложении Mathcad.

2. Отделить корни уравнения f(x)=0, где f(x) берется из той же табл. 10.1.

3. Найти корни уравнения в приложении Excel с помощью команды Подбор параметра и в приложении Mathcad. Результаты сравнить между собой.

6. Решить произвольную систему линейных уравнений в приложениях Mathcad и Excel.

Таблица 10.1

Номер вар.	Функция f(x)	Пределы интегрирования	Номер вар.	Функция f(x)	Пределы интегрирования
1	x2+4x-2	a=1, b=2	9	x3+3x-1	a=4, b=8
2	ln(x)+x-3	a=3, b=4	10	x3+x-4	a=3, b=4
3	x3+2x-1	a=6, b=7	11	ln(x)+x3	a=3, b=7
4	2ln(x)-1/x	a=8, b=9	12	ex-2x2-1	a=2, b=9
5	2-x2+x	a=1, b=3	13	2x+ln(x)-7	a=2, b=4
6	5x-1+x3	a=2, b=5	14	x3+2x-4	a=1, b=5
7	1+ex+x	a=3, b=8	15	2+x+ln(x)	a=3, b=7
8	x3+x-2	a=6, b=9	16	x3+x-3	a=6, b=8

11 Компьютерная графика

11.1 Виды графических изображений

Различают три вида компьютерной графики: растровая, векторная и фрактальная. Они различаются принципами формирования изображений.

Растровые изображения состоят из массива точек различного цвета. Растровая графика отличается хорошим качеством, ее применяют в основном при разработке мультимедийных программ и полиграфических изданий. Растровыми являются все сканированные изображения и цифровые фотографии, а также изображения, созданные в некоторых графических редакторах, таких как Paint, Photoshop. Основным недостатком растровой графики является потеря качества изображения при его увеличении, это связано с тем, что увеличение изображения приводит к увеличению точек, из которых оно состоит, а это визуально искажает изображение. Наиболее распространенные форматы растровых изображений: bmp, jpg, gif, psd, pcx и tiff.

Векторные изображения создаются из элементарных фигур: линий, кривых, прямоугольников и др. При изменении размеров векторного рисунка компьютер прорисовывает линии и фигуры заново, таким образом, не происходит искажения рисунка, характерного для растровых изображений. Это свойство векторной графики широко используется при создании чертежей и в картографии.

Векторные изображения создаются в специализированных графических редакторах (CorelDraw, Macromedia Flash и т.д.). Наиболее распространенные форматы векторных изображений: wmf.

Фрактальная графика основана на генерации изображения с использованием программирования. Все изображение строится по уравнению, причем мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Многие элементы живой природы обладают фрактальными свойствами, к примеру, дерево или снежинка. Фрактальная графика получила широкое распространение при создании трехмерной графики (в играх, программах для ландшафтного проектирования и т.д.).