Введение в специальность / 08 - Vv_v_sp_11 - zad o di ra sm
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
!"#" $%&'()*&+ ,-&*#&.& $/0"#/ |
(12)+ 3/(/ 4 / &0#5678 #& |
$%/ 9 (& // $&0%)'()#/ $/0"0)(:#56 );) 0 3 /0"*/#& 8 -"(&%/+ 8 */< #)%"(:#56 );) 0 8 ')(-& / 2% =7 -&(/>) 0 "6 8 #) *)#)) 0)6 8 -&0&%5) #)&'6&2/*5 2( #&%*"(:#&.& 4 /!#)&') $)>)#/ =
?9 0: 0)>)#/) !"2"##&.& %)*)##&.& $)%/&2" $/; " $%/.&0" (/ ")0 /! n $%&29-0& Pj 8 j = 1, n / 2&(4 #" &2)%4"0: m $/0"0)(:#56 );) 0 Vi 8
i = 1, m= @! ) 0#& 8 >0& 0)>)#/) ,0&.& $)%/&2" #)&'6&2/*& $&0%)'( 0: #) *)#)) bi 8 i = 1, m $/0"0)(:#&.& );) 0 " Vi 8 i = 1, m= A%&*) 0&.& 8 /! ) 0#& 8 >0& -"42&+ )2/#/B) $%&29-0" Pj 8 j = 1, n &2)%4 /0 aij 8 i = 1, m8
j = 1, n $/0"0)(:#&.& );) 0 " Vi 8 i = 1, m= C"2"#5 0"-4) B)#5 cj 8 j = 1, n
$%&29-0& = D%)'9)0 /! 2"##56 $%&29-0& & 0" /0: #"/'&()) 2)E) 91 2/)09 3%"B/ #" 2"##5+ $)%/&2 =
?& 0%&/* *"0)*"0/>) -91 *&2)(: !"2">/ = F'&!#">/* >)%)! xj 8
j = 1, n -&(/>) 0 & )2/#/B j<.& $%&29-0"8 !"-9$")*&.& #" %" *"0%/ "<
)*5+ $)%/&2 = F>) /2#& 8 xj ≥ 0 8 j = |
1, n |
3j<+ $%&29-0 |
*&4 #& |
$&-9$"0: |
/(/ #) $&-9$"0:7= G xj )2/#/B"6 $%&29-0" Pj &2)%4 /0 |
aij xj |
$/0"0)(:< |
#&.& );) 0 " Vi = D&.2" & )6 $%&29-0"6 &2)%4"#/) );) 0 " Vi %" #&
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pj=1 aij xj = H0& &2)%4"#/) #) *&4)0 '50: *)#:E) bi 8 0=)= $&(9>")* &.%"#/< |
||||||||
>)#/ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
X aij xj ≥ bi, i = |
1, m. |
|
|||||
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
I "0%/B9 |
aij , j = |
|
|
|
||||
1, n |
||||||||
|
A = |
|
|
|
||||
|
i = |
1, m |
|
|
#"!5 "10 J K L MN O P0&/*& 0: $%&29-0" Pj %" #" cj xj 8
|
n |
|
|
|
|
|
" )6 $%&29-0& Q |
Pj=1 cj xj 8 )) #)&'6&2/*& */#/*/!/%& "0: = D"-/* &'%"< |
|||||
!&* 8 *"0)*"0/>) -" |
*&2)(: !"2">/ & 2/)0) /*))0 /2 |
|
|
|||
n |
|
n |
||||
X cj xj → min, |
X aij xj ≥ bi, i = |
1, m |
; xj ≥ 0, j = |
1, n |
|
|
j=1 |
|
j=1 |
/(/ )-0&%#&<*"0%/>#&+ R&%*)
c 0x → min, Ax ≥ b, x ≥ 0.
?&(9>)##91 !"2">9 #"!5 "10 O K S K T U O O VJ L WJX J Y WJ
Z[
|
O |
|
|
|
|
|
|
|||||
G *" 0)% -91 $& /!.&0& ()#/1 #)-&0&%2 |
5*6"0)%/!2/)("(/"=+ $&( 09/!$")0.&0&*"0)%/<()#/ |
|||||||||||
"( %9("6 8 |
-"42&* /! |
-&0&%56 α |
2 |
|
|
|
||||||
-"42&.& /!2)(/ |
0%)'910 |
-"42" 8 i = 1, m= |
||||||||||
!".&0& -/ m /2& $& γi |
||||||||||||
" -"42&) /!2)(/) 0%)'9)0 |
βi 3i = |
1, m |
7 !".&0& &- i<.& /2"= @! ) 0#5 n |
|||||||||
$& &'& %" -%& |
&2#&.& %9(" #" !".&0& -/ = A"425+ j<+ $& &' 6"%"-0)< |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
%/!9)0 |
-&(/>) 0 &* aij !".&0& &- i<.& /2" 3i = |
1, m |
78 -&0&%&) $&(9>")0 |
$%/ j<&* %" -%&) 3j = 1, n7= )&'6&2/*& &$%)2)(/0: 8 -"-&) -&(/>) 0 & %9<
(& *"0)%/"(" ()29)0 %" -%&/0: -"425* /! 9-"!"##56 $& &'& 2( /!.&0& ()#/ N /!2)(/+ 8 >0&'5 &06&25 '5(/ */#/*"(:#5*/ =
?& 0%&/* *"0)*"0/>) -91 *&2)(: !"2">/ = F'&!#">/* >)%)! xj -&(/< >) 0 & %9(& *"0)%/"("8 -&0&%&) #)&'6&2/*& %" -%&/0: j<* $& &'&* 3j = 1, n7= #& 8 >0& xj ≥ 0 8 j = 1, n 3%9( j<* $& &'&* *&4 #& -%&/0: /(/ #) -%&/0:7= A&(/>) 0 & !".&0& &- i<.& /2"8 $&(9>)##&) %)!9(:0"0)
%" -%& xj %9(& |
$& j<*9 $& &'98 %" #& aij xj 8 " -&(/>) 0 & !".&0& &- |
|||||
i<.& /2"8 $&(9>)##&) %)!9(:0"0) %" -%& |
)6 %9(& |
3 )*/ $& &'"< |
||||
|
n |
|
|
|
|
|
*/7 Q |
= 1, m7= ?& -&(:-9 #" |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
Pj=1 aij xj 3i |
/!.&0& ()#/) |
&2#&.& /!2)(/ |
/2)0 βi !".&0& &- i<.& /2"8 0& 2( N /!2)(/+ #)&'6&2/*& bi = N βi !".&0&<&- 3i = 1, m7= ?&(9>)##&) -&(/>) 0 & !".&0& &- i<.& /2" #) *&4)0 '50:
*)#:E) ,0&+ )(/>/#5 |
n |
||
|
X aij xj ≥ bi, i = |
1, m. |
|
|
j=1 |
||
"+2)* )(/>/#9 &06&2& = P#">"(" &06&2"*/ '92)* >/0"0: -9 -/ *"< |
|||
0)%/"("8 -&0&%5) #) ( |
10 !".&0& -"*/ = ?(&; "2: !".&0& &- i<.& /2" |
$%/ j<&* %" -%&) &2#&.& %9(" %" #" aij γi 8 " $(&; "2: !".&0& &- )6 /2&
|
m |
$(&; "2: %9(" %" #" α = P()2& "0)(:#& 8 &06&25 $%/ %" -%&) |
Q |
Pi=1 aij γi 8 |
&2#&.& %9(" $& j<*9 $& &'9 %" #5
m
X
cj = α − aij γi, j = 1, n,
i=1
&06&25 $%/ %" -%&) xj %9(& $& j<*9 $& &'9 Q cj xj 8 9**"%#5) &06&25
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
&0 %" -%& )6 %9(& 3 )*/ $& &'"*/7 Q |
Pj=1 cj xj = H09 9**9 #)&'< |
|||||||
6&2/*& */#/*/!/%& "0:= D"-/* &'%"!&* 8 *"0)*"0/>) -" |
*&2)(: !"2">/ & |
|||||||
%" -%&) %" *"0%/ ")*&* (9>") /*))0 /2 |
|
|
|
|
|
|
||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
X cj xj → min, |
X aij xj ≥ bi, i = |
1, m |
; xj ≥ 0, |
j = |
1, n |
|
||
j=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
/(/ )-0&%#&<*"0%/>#&+ R&%*) |
|
|
|
|
|
|
||
|
c 0x → min, Ax ≥ b, |
x ≥ 0. |
|
|
|
Z
|
"()) &06&2"*/ '92)* >/0"0: 0"-4) / !".&0& -/ 8 -&0&%5) #) / $&(:< |
||||||||||
!910 |
2( |
/!.&0& ()#/ N /!2)(/+ 8 0=)= (/E#/) !".&0& -/ = A"- '5(& $&2< |
|||||||||
>/0"#& 5E)8 !".&0& &- i |
<.& /2" '92)0 $&(9>)#& |
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Pj=1 aij xj 8 " 2( /!.&0& < |
||||
()#/ |
N /!2)(/+ /6 0%)'9)0 (/E : bi = P()2& "0)(:#& 8 -&(/>) 0 & (/E#/6 |
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
!".&0& &- i |
<.& /2" %" #& |
|
|
|
3i = 1, m78 /6 $(&; "2: %" #" |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
Pj=1 aij xj − bi |
||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X aij xj |
− bi |
|
· γi |
(i = |
1, m |
), |
|||
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
" $(&; "2: )6 (/E #/6 !".&0& &- Q |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
XX
aij xj − bi γi.
i=1 j=1
D"-/* &'%"!&* 8 ,0&* (9>") B)() " |
R9#-B/ !"2">/ ? '92)0 /*)0: |
|||
()291;/+ /2 |
m n |
|
|
|
n |
|
|
||
X cj xj + X X aij xj − bi |
|
γi → min. |
||
j=1 |
i=1 j=1 |
|
|
|
OLM OJ |
OW |
( |
$%&/! &2 0 " #)-&0&%&.& |
$(" " / $&(:!910 n %"!(/>#56 E/6< |
0& 56 *"0)%/"(& Aj 8 j = 1, n= /*/>) -/+ & 0" $(" " &$%)2)( )0&2)%4"#/)* #)* 6/*/>) -/6 ,()*)#0& 3/(/ &)2/#)#/+7 Bi 8 i = 1, m= @! ) 0#" 2&( aij 6/*/>) -&.& ,()*)#0" Bi )2/#/B) E /60& &.& *"0)%/"(" Aj = F>) /2#& 8 ,0/ $"%"*)0%5 $& 0"#& -) !"2">/ 2&(4 #5 92& ()0 &% 0:
#)%" )# 0 "* |
m |
|
|
|
X aij ≤ 1, j = |
1, n, |
|
|
i=1 |
0=- = E/60& &* *"0)%/"() Aj *&.90 &2)%4"0: / 2%9./) 6/*/>) -/) ,()<
*)#05 8 -%&*) 9-"!"##56 = &0& 5+ $(" 2&(4)# /*)0: 0%&.& &$%)2)()#< #5+ & 0" 8 -&0&%5+ !"2")0 2&( */ βi 6/*/>) -/6 ,()*)#0& Bi 8 i = 1, m=
#& 8 >0& ,0/ $"%"*)0%5 !"2">/ 2&(4 #5 92& ()0 &% 0: 9 (& /1
m
X
βi = 1.
i=1
?%/ !"2"##&+ 0&/*& 0/ cj )2/#/B5 E /60& 56 *"0)%/"(& Aj 8 j = 1, n
#"+0/ -&(/>) 0 & -"42&.& /! #/6 8 &') $)>/ "1;)) $&(9>)#/) !"2"##&.& -&(/>) 0 " $(" " &' )*) α $%/ */#/*"(:#&+ &';)+ 0&/*& 0/ / $&(:<
!9)*56 E/60& 56 *"0)%/"(& =
?& 0%&/* *"0)*"0/>) -91 *&2)(: !"2">/ = F'&!#">/* >)%)! xj -&(/< >) 0 & E/60& &.& *"0)%/"(" Aj 8 / $&(:!9)*&.& 2( $&(9>)#/ !"2"##&.&
Z
-&(/>) 0 " $(" " 3j = 1, n7= #& 8 >0& xj ≥ 0 8 j = 1, n 3-"425+ /! E/6<
0& 56 *"0)%/"(& *&4)0 / $&(:!& "0: /(/ #) / $&(:!& "0: 7= A&(/>)<0 & 6/*/>) -&.& ,()*)#0" Bi 9-"!"##&* -&(/>) 0 ) E/60& &.& *"0)%/<
"(" Aj %" #& aij xj 8 " 9**"%#&) -&(/>) 0 & 6/*/>) -&.& ,()*)#0" Bi &
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)6 E /60& 56 *"0)%/"("6 Q |
Pj=1 aij xj = H0& -&(/>) 0 & 2&(4 #& '50: %" < |
|||||||||||||||||||||
#& )(/>/#) bi = αβi 8 -&0&%" |
$%)2 0" ( )0 &'&+ -&(/>) 0 & 6/*/>) -&.& |
|||||||||||||||||||||
,()*)#0" Bi & )* $(" ) &' )*" α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X aij xj = bi, i = |
1, m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P0&/*& 0: E /60& &.& *"0)%/"(" Aj |
%" #" cj xj 8 0&/*& 0: )6 E/60& 56 |
|||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*"0)%/"(& Q |
Pj=1 cj xj = ) #)&'6&2/*& */#/*/!/%& "0:= D"-/* &'%"!&* 8 |
|||||||||||||||||||||
*"0)*"0/>) -" |
|
*&2)(: !"2">/ & $(" "6 /*))0 /2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X cj xj → min, |
X aij xj = bi, |
i = 1, m; |
xj ≥ 0, |
j = |
1, n |
|
||||||||||||||||
j=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(/ )-0&%#&<*"0%/>#&+ R&%*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
c 0x → min, |
Ax = b, |
x ≥ 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
" *&0%/* #)-&0&%5) /!*)#)#/ |
$& 0"#& -) !"2">/ = G&<$)% 56 8 '9< |
|||||||||||||||||||||
2)* >/0"0:8 >0& -&(/>) 0 & $(" "8 -&0&%&) #)&'6&2/*& |
$%&/! ) 0/ 8 2&(4< |
|||||||||||||||||||||
#& '50: #) *)#:E) &' )*" α |
/ #) '&(:E) α = G)(/>/#" α *&4)0 6"%"-< |
|||||||||||||||||||||
0)%/!& "0: 9**"%#5+ !"-"! &0 $&0%)'/0)()+ 8 " )(/>/#" α Q $%&.#&!/< |
||||||||||||||||||||||
%9)*5+ '50 $%&/! &2/*&.& $(" " 3α ≥ α 7= D&.2" $&(9>/* ()291;/) |
||||||||||||||||||||||
&.%"#/>)#/ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b i ≤ X aij xj ≤ bi , i = 1, m, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
.2) b i = α βi 8 bi = α βi 8 i = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1, m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
G&< 0&%56 8 |
$%)2$&(&4 /* 8 >0& E/60& 5+ *"0)%/"( Aj |
*&4 #& !"-9$"0: |
||||||||||||||||||||
-&(/>) 0 ) 8 #) $%) 5E "1;)* )(/>/#9 dj |
|
|
|
|||||||||||||||||||
8 j |
= |
1, n |
= @ 8 -%&*) 0&.& 8 9 |
|||||||||||||||||||
"*&.& $%)2$%/ |
0/ /*))0 |
|
-"425+ |
E/60& 5+ *"0)%/"( -&(/>) 0 ) |
||||||||||||||||||
d j 8 j = 1, n8 -&0&%&) |
#)&'6&2/*& |
$&(#& 0:1 |
/!%" 6&2& "0:= D&.2" $&(9< |
|||||||||||||||||||
>/* &.%"#/>)#/ |
|
d j ≤ xj ≤ dj , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
j = |
1, n. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
G<0%)0:/6 8 |
$9 0: *) 0& 0&/*& 0/ E/60& 56 *"0)%/"(& !"2"#" $%/< |
'5(: cj #" )2/#/B9 / $&(:!9)*&.& E /60& &.& *"0)%/"(" Aj = @ !"2">" &<
0&/0 *"- /*/!"B// 9**"%#&+ $%/'5(/
n
X
cj xj → max.
j=1