Дин. системы / 1.1

Тарау 1. Жиындар теориясы

1.1. Жиындар және оларға жүргізілетін операциялар

Негізгі теориялық көпше заңдарды баяндаған кезде бір-бірімен тығыз байланысты үш бастапқы түсінікті қолданамыз: жиындар, пікірлер және предикаттар.

Егер а жиыны А жиынының элементі болса, онда бұл фактты келесі түрде жазады: (сәйкесінше кері тұжырым үшін). Атап айтқанда, элементтердің жиынтығы жиынның барлығын анықтайды, сондықтан да оларды белгілеген кезде жиындар мен оның элементтерін әртүрлі бейнелейді, мысалы, жиындарды – бас әріппен, ал элементтерді – кіші әріптермен, немесе жиындарды үстіне жұлдыз қойып белгілейміз. Мәнмәтіннен әрқашанда қай белгілеу тәсілі қолданғаны анық болады.

Барлық жиындар алдын-ала берілген Е жиынтығының элементтерінен тұрады деп санайық, бұл жиынтық өз кезегінде ауқымды жиын деп аталады. Әр нақты жағдайда ауқымды жиындар әртүрлі болуы мүмкін, мысалы, жазықтық нүктелерінің, бүтын сандардың, нақты немесе комплексті функциялардың жиыны және т.с.с.

Кей нәрселер жөнінде баяндалатын және олар жөнінде ақиқат немесе жалған деп айтуға болатын хабарлы сөйлемдерді пікір деп айтамыз. Е ауқымды жиынының кейбір элементіне қатысты сөйлем жиынның қай элементі қарастырылып жатқанына байланысты ақиқат немесе жалған болуы мүмкін. Айнымалы ретінде кейбір жиындардың элементтерінен тұратын мұндай сөйлемдерді предикат деп атайды.

Аксиома 1 (бөлінулер): әртүрлі Е ауқымды жиыны және Е-нің барлық элементтері үшін мағынасы бар әр Р (х) предикаты үшін жалғыз жиыны бар болады, ол Е-нің Р (х) ақиқат болатын элементтерінен тұрады.

Егер Х - Р (х) предикат ақиқатының жиыны болса, онда оны келесі тірде жазылады: . Әр Р (х) предикаты үшін кем дегенде бір элементіне ақиқат екенін білу қажетті. Бұл факт түрінде жазылады. символы тіршіліктің кванторы деп аталады, ал келтірілген жазу былай оқылады: «E ауқымды жиын элементтерінің арасында кем дегенде Р (х) ақиқат болатындай бір элемент бар болады». Біз ары қарай еркін қолданамыз, мысалы, келсі түрде . Мұнда x элементінің тек қана E–де емес, сонымен қатар X жиынында бар екені тұжырымдалады. Мәнмәтіннен әрқашанда кванторы бар қай белгілеу тәсілі қолданғаны анық болады.

Тіршіліктің кванторымен қатар тұтастық кванторы кеңінен қолданылады. жазуы Р (х) пікірі Е ауқымды жиынының барлық элементтері үшін ақиқат болып келеді.

Екі пікірді қосатын белгілердің келесі атауы бар: & - конъюнкция (көбейту), V - дизъюнкция (логикалық қосу), - эквиваленттілік, - нәтиже (импликация). А пікірін мойындамау арқылы белгіленеді, сонымен қатар .

Логика алгебрасының кейбір қарапайым тавтологияларын келтірейік , оларды біз кейін кеңінен қолданамыз:

1) – шығарып тасталған үштің заңы;

2) – қайшылықты мойындамаудың заңы;

– екі еселі мойындамаудың заңы;

– идемпотенттілік заңы;

- коммутативтілік заңдары;

- ассосация заңдары;

- дистрибутивтілік заңдары;

-де-Морган заңдары;

- контрпозиция заңы;

- тізбекті нәтиженің ережесі;

- рефлексивтілік заңы;

- симметрия заңы;

- транзитивтілік заңы;

- импликация мен конъюнкция арқылы эквиваленттілікті білдіру;

- дизъюнкция мен мойындамау арқылы импликацияны білдіру.

- кванторлар үшін де-Морган заңдары.

А н ы қ т а м а 1. А жиыны В жиынының жиыншасы деп аталады (белгіленуі ), егер А кез келген элементі В элементі болып табылады, яғни егер ].

Аксиома 2 (экстенсиональді). Егер А және В жиындары бірдей элементтерден тұрса, онда олар сәйкес келеді:

Аксиома 3 (бірігу). Барлық А және В жиындары үшін G жиыны бар болады, және ол А немесе В-ға тиісті болатын элементтерден тұрады.

G жиыны А және В жиындарының бірігуі деп аталады және былай белгіденеді:

Аксиома 4 (жұптар). Кездейсоқ a және b үшін элементтері тек қана a мен b болатын жиын бар болады:

болған жағдайда Р жиынын реттелмеген жұп деп атайды және деп белгіленеді. Сондай ақ P - екі элементті жиын деп те аталады. екені белгілі. Ал болған жағдайда, жиынын бір элементті деп атайды. қатынасы эквивалентті. және жазуларын айыра білген жөн. Бірінші жағдайда бұл қандай да бір жиынның элементі; ал екіншісі болатын бір ғана элементтен тұратын жиын.

Аксиома 5 (дәреже жиындар). Кез келген Х жиыны үшін жалғыз ғана Х* жиыны бар болады, және оның элементтері Х жиынының жиыншасы болады:

X дәреже жиынын exp X деп белгілейді. (оқылуы: Х дәрежесі, Х жиыншалар жүйесі. Бұл өрнектерді алгебрамен шатастырмаңыз!).

3…5 аксиомалардың мағынасы элементтерінен бірігу, жиын дәрежелер құрастыруға болатын көлемді жиындардың бар екенін бекіту. Бұл ұғымдардың пайда болу себебі, «барлық жиындар жиыны» деген ұғымды қолдана алмауымызда.

А н ы қ т а м а 2. Элементтері жоқ жиынды бос жиын деп атайды және деп белгілейді.

1 теорема. Бос жиын тек жалғыз болады және кез келген Х жиынының ішкі жиыншасы болып табылады.

белгілейік. барлық анықталған және барлық жалған х үшін коллективизирлеуші ұғым болатыны түсінікті. барлық х үшін жалған болғандықтан, онда , ал осыдан .

Бірігу және қиылысу үшін арналған заңдар:

Толықтыру үшін арналған заңдар:

Жиындардың айырымдары үшін арналған заңдар: