09-01-2015_09-46-11 / Лекция 4. ТВ и МС

Лекция 4 Определение условной вероятности. Теорема умножения вероятностей.

Независимость двух и нескольких событий..

4.1.Определение условной вероятности

Внекоторых случаях необходимо определить вероятность случайного события

событий до множества В, соответствующего этому событию. Т.е. мы находим

Если имеется дополнительная информация о том, что выпало четное число, то вероятность события А= {Выпала 2 }– возрастает с 1/6 до 1/3 , а вероятность события С={ выпала 3 } - уменьшилась с 1/6 до 0 .

Пусть дополнительная информация формулируется так : “Известно, что в результате эксперимента произошло событие В”. Зная это, мы хотим подсчитать

благоприятствуют событию В ( раз оно точно произошло, никаких других исходов произойти не могло). Это число обозначим через N(B) . Какие же исходы в данном случае будут благоприятными для события А ? Конечно, те, которые благоприятствуют одновременно событиям А и В, т.е. благоприятные для их произведения. Их количество равно N(AB).

23

Ω

Ω1=B

A

Условной вероятностью события A при условии, что событие B с ненулевой вероятностью произошло, называется

Р(АВ) является неотрицательным числом, а знаменатель Р(В) – положительным числом.

Так как ΩB=В , то выполняется аксиома А2 :

Р(( А1 + А2 ) В)= Р( А1 В + А2 В )= Р( А1 В ) + Р ( А2 В ) Откуда по определению

24

P(A1 + A2 |B) = = + = P(A1 |B)+ P(A2 |B)

Следовательно, условная вероятность удовлетворяет аксиоме А3 вероятности.

Отметим некоторые свойства условной вероятности:

1. Р (А |А)=1 2. Если В А, то Р(А| В ) =1

3. Для любого события В с ненулевой вероятностью Р( | В)=0

Смысл доказанной теоремы заключается в том, что условная вероятность представляет собой безусловную вероятность , заданную на новом пространстве Ω′ элементарных событий , совпадающем с событием В.

получим равенство, которое называется теоремой умножения. Если исходить из определения (4.1), то содержательность теоремы умножения (4.2) представляется весьма невысокой. Однако при решении реальных задач можно найти условные вероятности исходя из некоторых дополнительных практических соображений, не прибегая к определению.

Доказательство. Пусть имеются события А1 , А2 , …,Аn По определению условной вероятности имеем равенство,

P(An | A1 A2 …An-1 ) =

которое можно записать в виде

Р(А1 А2 …Аn )=Р( A1 A2 …An-1 ) P(An | A1 A2 …An-1 )

Аналогично находим

Р(А1 А2 …Аn-1 )=Р( A1 A2 …An-2 ) P(An-1 | A1 A2 …An-2 )

Тогда

Р(А1 А2 …Аn )= Р( A1 A2 …An-2 ) P(An-1 | A1 A2 …An-2 ) P(An | A1 A2 …An-1 )

Продолжая эту процедуру, получаем теорему умножения.

Пример . Пусть в урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимают 2 шара , не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что первый из выбранных шаров белый, а второй черный ?

Решение I ( по классической схеме)

N(Ω)=A102 =9 10=90, m(A)=4 6=24 P(A)=24/90=4/15

Решение II ( по теореме умножения)

А= {первым вынули белый шар} = {(б, )} В= {вторым вынули черный шар} = {( , ч)}

25

Пример С.Н. Бернштейна. Три грани правильного тетраэдра раскрашены в синий, красный и зеленый цвета, а в раскраске четвертой грани присутствуют все эти цвета.

А= {тетраэдр упал на грань в раскраске, которой присутствует синий цвет} В= { тетраэдр упал на грань в раскраске, которой присутствует красный цвет} С={ тетраэдр упал на грань в раскраске, которой присутствует зеленый цвет} Тогда

Р(А)=Р(В)=Р(С)=1/2 Р(АВ)=Р(ВС)=Р(АС)=1/4

Следовательно, события А,В,С попарно независимы Р(АВС)=1/4 ≠ Р(А)Р(В)Р(С)=1/8

Таким образом хотя события А,В,С попарно независимы, они зависимы в совокупности.

27