09-01-2015_09-46-11 / Лекция 7. ТВ и МС

Лекция 7.

Локальная и интегральная теоремы Муавра –Лапласа. Схема серий и приближенная формула Пуассона.

Доказательство. Pn (k) = pkqn-k = pk(1-p)n (1 –p)-k

Учитывая , что np = λ имеем p ≈

Pn (k)≈ (1 (1 - )(1- )…(1 -))(1 - )n ( 1- )-k

Так как

(1 - )= (1- )=…= (1 -) = 1

(1 - )n = = e-λ

( 1- )-k = 1

Pn (k)=

Строго говоря , условие теоремы Пуассона p → 0 при n →∞ так что np →λ противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р =const . Однако , если вероятность р – постоянна и мала , число испытаний n – велико и число λ = np - незначительно ( будем полагать, что λ = np ≤ 10 ), то из предельного равенства (4.9) вытекает приближенная формула Пуассона :

Pn (k) ≈ = Pk (λ)

В таблице приложений приведены значения функции Пуассона.

Вероятность события , заключающегося в том, что А появится не более m раз , вычисляется по формуле :

32

P(k ≤ m ) ≈

Пример. Известно, , что при транспортировке и разгрузке керамической отделочной плитки повреждается 2,5 % . Найти вероятность того, что в партии из 200 плиток поврежденными окажется а) ровно 4 , б) не более 6.

Решение. p=0,025мало , n = 200 - велико λ = np= 5 < 10 можно воспользоваться формулой Пуассона

P200 (4) ≈ = e-5 =0,1755

P200 (k ≤ 6 ) ≈ = e-5 = 0,7622

Пример. В новом микрорайоне поставлено 10000 кодовых замков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя одного замка в течение месяца равна 0,0002. Найти вероятность того, что за месяц откажут два замка.

Решение. В нашем случае λ = np=10000 0,0002 =2 < 10

используем формулу Пуассона

Р10000(2)=22 е-2 /2!=0,27

Формулы Муавра – Лапласа

При достаточно большом n и не слишком малых p и q формула Пуассона уже дает значительную погрешность и применяется другое приближение – формула Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра – Лапласа . Если в схеме Бернулли число испытаний n велико , то для всех k справедлива приближенная формула :

Решение. p = 80/100 =0,8 , n = 400 , np = 400 0,8 = 320 > 10

33

Следовательно, используем локальную теорему Муавра – Лапласа x = ( 300 – 400 0,8)/√(400 0,8 0,2) = ( 300 – 320 )/√64 = - 20/8=-2,50 P400 (300) ≈( 1/√64 ) ϕ( -2,50 )= 0,0175/8 = 0,0022

Пусть в условиях примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей ( включительно ) имеют холодильники . Тогда по теореме сложения вероятностей имеем

P400 ( 300 ≤ k ≤ 360 ) = P400 (300 ) + P400 (301 ) + …+ P400 ( 360 )

В принципе вычислить каждое слагаемое можно в отдельности по локальной теореме Муавра – Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется следующая теорема

Интегральная теорема Муавра – Лапласа

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико , то для вероятности того, что число успехов k будет не менее a и не более b справедливо приближенное равенство

Pn ( a ≤ k ≤ b ) ≈ Ф0 (х2 ) – Ф0 (х1 ),

Доказательство будет приведено как следствие центральной предельной теоремы Отметим некоторые свойства функции Лапласа , которая табулирована.

Пример . В условиях предыдущего примера P400 ( 300 ≤ k ≤ 360 ) ?

Решение x1 = ( 300-400 0,8)/√( 400 0,8 0,2) = -2,50 ; x2 =( 360-400 0,8)/√( 400 0,8 0,2) = 5,0

P400 ( 300 ≤ k ≤ 360 ) ≈ Ф0 ( 5 ) – Ф0 (- 2,5 ) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938

Пример . Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ , равна 0, 8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших не менее 75 сделают заказ.

Решение. n=100 , p= 0,8, q= 0,2 , np = 80 > 10

P ( k ≥ 75 ) = P( 75 ≤ k ≤ 100 ) ≈ Ф0 ( 5 ) – Ф0 (- 1,2 ) =0,5 + 0,385 = 0,885

34