09-01-2015_09-46-11 / Лекция 10. ТВ и МС

Лекция 10 Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и

ее свойства. Определение дисперсии. Свойства дисперсии. Ковариация , коэффициент корреляции и их свойства.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть случайная величина ξ– есть некоторый денежный выигрыш в азартной игре. Хотелось бы заранее , оценить, на какой средний выигрыш можно

S = 1m1 +2m2 +3m3 +4m4 +5m5 +6m6

Значит, на одно бросание приходится средний выигрыш, равный

s =S/n= 1/n(1m1 +2m2 +3m3 +4m4 +5m5 +6m6 )= 1m1/n +2m2 /n+3m3 /n +4m4/n +5m5/

n+6m6/n

Ксожалению, эту величину можно посчитать только после опытов.

Заметим, что величины mi/n (i=1,2,..,6) есть относительные частоты выпадения числа i . Из закона статистической устойчивости ( фундаментального

называется число Mξ = x1 p1 + x2 p2 +…+xn pn = xi pi

Математическое ожидание случайной величины характеризует ее среднее , «ожидаемое» значение (прогноз)

29

Если дискретная случайная величина ξ принимает счетное множество значений x1 , x2 , …,xn ,… , то математическое ожидание такой дискретной

случайной величины называется сумма ряда : Mξ = xi pi

Так как ряд может расходиться , то соответствующая случайная величина может и не иметь математическое ожидания Пример Бросание монеты до первого появления герба. Пусть случайная величина ξ характеризует число бросаний монеты.

Эта случайная величина не имеет математического ожидания

2i /2i = 1=∞

На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует.

Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно ей самой : Мс=с

Доказательство. По определению с= Mc=c 1=c

2.Если случайная величина ξ принимает только неотрицательные значения ξ ≥

0, то Mξ ≥ 0

3.M(cξ) = cMξ

5. Для любой случайной величины справедливо равенство M(ξ - Mξ) =0

Доказательство . M(ξ - Mξ) = Mξ - M(Mξ) = Mξ - Mξ =0 использовали свойства 4) и 1)

30

6. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M( ξ η) = Mξ Mη

Доказательство. По определению M( ξη) = xi yj pij = | однако ξ и η

Итак, математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Говорят, что математическое ожидание – характеристика положения или центральных тенденций.

и по определению математического ожидания , дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формуле :

Dξ= (xi - Mξ)2 pi

Число σ = называется среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением случайной величины ξ .

Свойства дисперсии

1.D ξ ≥ 0; D ξ = 0 ξ = const

2.D ( cξ) = c2 D ξ

Доказательство .D (cξ )=M (cξ - M(cξ ) )2 = M(cξ - c Mξ)2 =M(c2 (ξ - Mξ)2 ) = c M (ξ - Mξ)2 = c2 D ξ

! В частности D ( -ξ) = D ξ

3. Сдвиг на константу не меняет дисперсии D (ξ + c ) = D ξ

Доказательство. D (ξ + c ) =M [ ξ + c – M(ξ + c) ]2 = M [ ξ + c – Mξ - c ]2 = M [ ξ

–Mξ ) ]2 = D ξ

Вчастности в качестве константы можно взять (- М ξ ) . Тогда получаем , что

31

Моменты высших порядков

Математическое ожидание и дисперсия являются частными случаями более общего понятия как моменты случайных величин .

Начальным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется

αk = Mξk

Следовательно, математическое ожидание α1 = Mξ - это начальный момент первого порядка.

Центральным моментом k -го порядка случайной величины ξ называется

k =M(ξ- Mξ)k

1 = M(ξ - Mξ) =02 = M(ξ - Mξ)2 = Dξ

Т.е. дисперсия - это центральный момент второго порядка.

Центральные моменты можно выразить через начальные моменты , например для k =2 :

D ξ =Mξ2 - (Mξ)2 =α2 - (α1 )2

5.3.3. Ковариация и корреляция случайных величин

Ковариацией случайных величин ξ и η называется число

(5.2) cov (ξ , η ) = M(ξ - Mξ )( η -Mη)

Свойства ковариации

1)cov (ξ , η) = cov (η, ξ )

2)cov (ξ , ξ ) =Dξ

Доказательство cov (ξ , ξ ) =M( ξ - Mξ )2 =Dξ 3) cov (ξ+ c1 , η + c2 ) = cov (ξ , η)

Доказательство

cov (ξ+ c1 , η+ c2 ) =M(ξ+ c1 –M(ξ+ c1))( η+ c2 – M(η + c2 ))=

| M(aξ + b )= aMξ + b | = M(ξ+ c1 –Mξ -c1)( η+ c2 – Mη- c2 ) = = M(ξ –Mξ )( η– Mη) = cov (ξ , η)

4) cov (c1 ξ + c2 η, ζ )=c1 cov (ξ , ζ)+ c2 cov (η , ζ) , c1 , c2 = const

Доказательство

cov (c1 ξ + c2 η, ζ )=M(c1 ξ + c2η- M(c1 ξ + c2 η))( ζ-Mζ) =

= M(c1 ξ + c2η- c1 Mξ - c2 Mη )( ζ-Mζ) = M(c1 (ξ - Mξ ) +c2 (η - Mη))( ζ-Mζ)= =M(c1 (ξ - Mξ ) (ζ -Mζ)+c2 (η - Mη) (ζ-Mζ)) =

=c1 M(ξ - Mξ ) (ζ-Mζ)+c2 M(η - Mη ) (ζ-Mζ) =c1 cov (ξ , ζ)+ c2 cov (η , ζ)

= M(ξ + η -Mξ - Mη)2 =M(ξ- Mξ + η - Mη)2 =

=M(ξ- Mξ)2 +2M(ξ- Mξ)( η - Mη)+M(η - Mη)2 = Dξ + Dη + 2 cov (ξ ,η ) 6) (5.4) cov (ξ , η) = Mξ η- Mξ Mη

33

называется матрица Σ , элементами которой являются ковариации

σij = cov (ξi , ξj ) :

Σ =

Из свойств ковариации вытекает, что ковариационная матрица является симметричной σij= σji и ее диагональные элементы равны дисперсиям случайных

Ковариация характеризует не только степень зависимости двух случайных величин, но и их разброс, рассеяние. Кроме того, она – величина размерная, ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это

Коэффициентом корреляции двух случайных величин называется отношение их ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих величин:

ρξη =

Коэффициент корреляции есть безразмерная величина

Свойства коэффициента корреляции

34

3) Если случайные величины ξ и η независимы, то ρξη =0. Доказательство. Так как ξ и η независимы , то cov (ξ ,η ) =0

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они некоррелированы. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из некоррелированности двух случайных величин еще не следует их независимость

Равенство математического ожидания неотрицательной случайной величины нулю означает , что сама случайная величина тождественно равна нулю

Вернувшись к исходным переменным , получаем

Коэффициент корреляции можно рассматривать как характеристику линейной взаимозависимости случайных величин ξ и η

35

Корреляционной матрицей случайного вектора ξ = (ξ1 , ξ2 , …,ξn ) называется матрица R , элементами которой являются коэффициенты корреляции ρij =

R=

Диагональные элементы R равны единице, т.к.

ρij ==1

36