Лабораторна робота к–3 Визначення логарифмічного декремента та коефіцієнта затухання механічних коливань.

Мета роботи:визначення логарифмічного декрементата коефіцієнта затухання механічних коливань.

Коливання з амплітудою, яка неперервно зменшується, називаються затухаючими.

Логарифмічний декремент та коефіцієнт затухання коливань є одними з най­важливіших характеристик будь-якого тіла, що здійснює затухаючі коливання. Тіло буде здійснювати затухаючі коливання, якщо на нього крім квазіпружньої сили f_кв=-kх буде діяти сила тертя (опору), яка при малих амплітудах пропорційна швидкості тіла, яке коливається:

;

де х – зміщення тіла, що коливається в положенні рівноваги;

к – коефіцієнт квазіпружньої сили;

r – коефіцієнт сили тертя (коефіцієнт опору).

Якщо застосувати ІІ закон Ньютона

до тіла масою m, на яке діє квазіпружня сила та сила тертя, отримаємо диференційне рівняння затухаючих коливань

, (1)

де ;

– коефіцієнт затухання, що характеризує швидкість затухання коливань;

_о– частота, з якою здійснювалися би вільні коливання тіла при відсутності опору середовища ( при r=0), цю частоту називають власною частотою системи.

При не дуже сильному затуханні, коли <_о, загальний розв’язок рівняння (1) має вигляд

х=А_ое^-tcos(wt+), (2)

де А_о– початкова амплітуда коливань;

– початкова фаза;

– циклічна частота затухаючих коливань.

В рівнянні (2)

A_t=A_oe^-t(3)

— амплітуда затухаючих коливань.

Часто швидкість затухання коливань характеризують не коефіцієнтом затухання , а величиною, з ним пов’язаною, – логарифмічним дикрементом затухання, що являє собою натуральний логарифм суми відношення двох послідовних амплітуд, що взяті через проміжок часу, рівний періоду коливань, т.т.

. (4)

Експериментально коефіцієнт затухання легко можна знайти, якщо виміряти проміжок часу t₂, протягом якого амплітуда коливань зменшується вдвічі, т.т. А_t=1/2А_о.

З врахуванням (3) запишемо

, або ln2=t₂,

звідки

. (5)

Підставивши (5) в (4), отримаємо

. (6)

Формули (5) та (6) дозволяють обчислити коефіцієнт та логарифмічний декремент затухання маятника та камертона.

Методика виконання роботи

Досліджуваний маятник (мал.3-1) являє собою довгу нитку, до кінця якої підвішений шарик. В нижній частині шарика закріплена стрілка яка дозволяє фіксувати на нерухомій шкалі амплітудні положення маятника А.

1. Відхиливши маятник на невеликий кут від положення рівноваги, зафіксувати за допомогою секундоміра початковий момент, якому відповідає деяке значення амплітуди коливань. В момент, що відповідає зменшенню амплітуди коливань вдвічі, зупинити секундомір та визначити час t₂.

2. Підрахувати період коливань маятника, визначивши час , протягом якого маятник здійснить задане число коливань N (не менше 50), т.т. Т=/N

3. Виміряти час та t₂не менше трьох разів та результати усереднити. За формулами (1) та (6) обчислититадля маятника.

Камертон (мал.3-2) монтується на спеціальній підставці. На одній з вільних ніжок закріплена стрілка, на яку наводиться вертикально встановлений мікроскоп з окулярною шкалою. Камертон освітлюється джерелом світла S

За допомогою удару спеціальним молоточком можна визвати коливання камертона. Частота коливань камертона =64Гц відома, значить, період коливаньтакож відомий. Для камертона можна виміряти лише час t₂(не менше трьох разів), протягом якого амплітуда коливань зменшиться вдвічі, та за формулами (5) та (6) обчислити його коефіцієнт та логарифмічний декремент затухання. Похибку вимірювань для маятника та камертона знайти методом диференціювання натурального логарифма.