Новая папка / 20_var
.dotМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
Чорноморський державний університет ім. П. Могили
Факультет комп’ютерних наук
Кафедра прикладної та вищої математики
Самостійна робота №6
Тема: «Звичайнi диференцiальнi рiвняння вищих порядкiв.»
Варіант №20
Виконав: студент 101 групи
Спеціальності «Компютерні науки»
Приходченко Владислав Сергійович
Перевірив:
доктор технічних наук
Дихта Л.М.
Миколаїв 2014
10.20. Найти загальне рішення диференціального рівняння.
Розв’язання:
Це
диференціальне рівняння 3-ого порядку.
Воно допускає пониження степеня через
заміну:
Тоді
рівняння буде мати вигляд:
tg5x=5z
z
Проінтегруєм ліву ту праву частину:
= 
= 
+ C
z = Asin5x
= A 
dx
= -Acos5x +B
y
= 
-Acos5x
+B) dx = - 
sin5x + Bx + D
A, B та D - довільні константи
Відповідь:
y
= - 
sin5x
+ Bx
+ D
11.20. Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання:
Заміна:
=
Рівняння має вигляд:
pdp
=
dy
=
= 8
p
= 
=
4
= 
C=0
= 4
=
dx
x+B
=
tgy
y=arctg(4x+4B)
Так
як
y(0)
= 0,
то
0+B
= 
tg(0)
B = 0
y = arctg(4x)
Відповідь:
y
= arctg(4x)
12.20. Найти загальний розв’язок диференціального рівняння.
Розв’язання:
Характеристичне рівняння:
Загальний розв’язок однорідного рівняння:
Часткове рішення неоднорідного рівняння шукаєм у вигляді:
Підставемо отримані рівняння в початкове:
Загальне рішення вихідного рівняння:
y=A
+ Bx + (C + Dx)
+ 
(-
+ 2x - 8)
Відповідь:
y=A
+ Bx + (C + Dx)
+ 
(-
+ 2x - 8)
13.20. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.
Розв’язання:
Характерестичне рівняння:
Загальне розв’язання однорідного рівняння:
Часткове розв’язання неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді:
Підставемо отримані рівняння в початкове:
- 4(
)
+ 3(
)
= 
(B
- 4B + 3B) 
+ x(A + 6B - 4A - 16B + 3A + 6B)
+ (3A + 6B - 8A - 8B + 3A)
=
Загальне рішення вихідного рівняння:
+ x(x-1)
Відповідь:
+ x(x-1)
.
14.20. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.
sin4x
Розв’язання:
Характеристичне рівняння:
=
2
Загальне рішення однорідного рівняння:
sin4x
y
= 
= 
=
Загальний розв’язок вихідного рівняння:
+ 
Відповідь:
+ 
15.20. Знайти загальни розв’язок диференцівльного рівнянн.
Розв’язання:
Характеристичне рівняння:
Загальне розв’язання однорідного рівняння:
y
= 
= 
=
- xcos7x
y
= 
y
= 
= - 
= -
-
xcos7x
+ 
Загальне рішення вихідного рівняння:
- 
-
xcos7x + 
Відповідь:
- 
-
xcos7x + 
16.20. Знайти розв’язок задачі Коші.
Розв’язання:
Характеристичне рівняння:
Загальне розв’язання однорідного рівняння:
Тоді:
0
+ 
=
= 
= 
d
= - 
+
= 
= 
dx
= 
y
= 
)
+ (- 
+
= 
+ 
y(0)
= 
A+B=1
= 
B=0 A=1
y
= 
)
Відповідь:
y
= 
)