5. Понятие коалиционных игр.

Ситуация значительно усложняется, когда в игре принимают участие более двух игроков. Водится понятие коалиции игроков, которые пользуются согласованной стратегией против интересов игроков, не входящих в их коалицию. Тогда могут быть вычислены ожидаемые выигрыши (значения игры) для каждой коалиции. В частности, вычисляются значения игры для каждого игрока в предположении, что он играет против коалиции всех других игроков. Обозначим эти значения g₁,g₂,…,g_n. Нормальный выигрыш игрока должен быть не меньше соответствующего значения игры, назовем такой выигрыш обязательством. Таким образом, (s₁,s₂,…,s_n) – обязательство, если s_i≥g_i для i=1,2,…,n и ∑_is_i=G, где G – значение игры (суммарный выигрыш всех игроков, не обязательно равный нулю). Тогда решением для игры n лиц будет такое множество обязательств, что ни одно обязательство этого множества не доминирует над другими обязательствами того же множества и для любого обязательства, не принадлежащего этому множеству, найдется обязательство нашего множества, доминирующее над ним. (Теорема фон Неймана и Моргенштейна). Отношение доминирования используется только для двух игроков или больше и заключается в превышении выигрышей этих игроков в одном обязательстве по отношению к выигрышам этих же игроков в другом обязательстве.

Коалиционные игры являются подклассом неантагонистических игр n лиц. При рассмотрении коалиционной игры предполагается, что игроки разбиваются на коалиции (формируя тем самым коалиционное разбиение), и игроки, входящие в одну коалицию действуют в ее интересах с целью максимизации суммарного коалиционного выигрыша. Этим коалиционные игры отличаются от кооперативных игр, в которых допускается образование любых коалиций, а из-за супераддитивности характеристической функции фактически предполагается, что все игроки объединяются в «большую» коалицию с целью максимизации суммарного выигрыша, и проблема заключается в нахождении дележа этого суммарного выигрыша, который был бы приемлем для всех игроков. В коалиционных же играх ставится двойная задача: определение оптимального поведения коалиций как отдельных игроков, и, как следствие, нахождения выигрышей этих коалиций как результат их оптимального поведения, и, наконец, нахождения приемлемого дележа коалиционного выигрыша между игроками, входящими в коалицию.

В заключение приведем оценку теории игр, данную Вильямсом: «…хотя в настоящее время уже выяснены, несмотря на множество ограничений теории, многие ее специфические приложения, ее наибольший, пока неявный, вклад состоит в том, что она дает людям, имеющим дело со сверхсложными проблемами, самую общую ориентацию. Даже если эти проблемы не подаются строгому решению, она дает основу для работы над ними. Идея стратегии, различия между игроками, роль случайных событий, понятие матрицы выигрышей, идеи чистой и смешанной стратегии и т.д. дают драгоценную ориентацию лицам, которым необходимо обдумывать сложные конфликтные ситуации».

Практический блок

Примеры

Пример 1. ЗАО «ПК Элина» продает свой товар в основном бюджетным организациям. Объём продаж зависит от финансирования организаций. Распределение объемов продаж различного вида товара от степени финансирования представлено в таблице 10.

Таблица 10 – Распределение объёмов продаж от степени финансирования

Наименование товара	Финансирование			Прибыль, руб./шт.		Затраты на хранение, руб./шт.
	«Хорошее»	«Плохое»
«Южный Урал»	200	400	100		10
«Патриот»	400	70	300		10
«Смерч-100»	150	200	200		5
«Смерч-200»	100	20	300		5

Необходимо определить оптимальный объем производства каждого вида товара, обеспечивающий максимальную прибыль.

Решение: Для решения задачи воспользуемся теорией игр.

На основании исходных данных строим платежную матрицу, где 1-я стратегия: объем производства, рассчитанный на хорошее финансирование, 2-я стратегия: объём производства, рассчитанный на плохое финансирование.

Таблица 11 – Платежная матрица