6. Двойственная задача линейного программирования.

В П.2 мы рассматривали общую задачу линейного программирования. Рассмотрим теперь другую экономическую задачу на том же предприятии с теми же исходными данными.

Необходимо определить такие цены

(y₁  0, y₂  0,…, y_m  0 ) (П.6)

всех ресурсов, чтобы сумма потраченных средств на их приобретение была бы минимальна, т.е.

Z = b₁ y₁ + b₂ y₂ +…+ b_m y_m min. (П.7)

С другой стороны, предприятию будет выгодно продать ресурсы в случае, если выручка от их продажи будет не менее той суммы, которую предприятие может получить при изготовлении продукции из этих ресурсов. Т.к., на производство единицы продукции j расходуется a_1j единиц ресурса 1, a_2j единиц ресурса 2,…, a_mj единиц ресурса m, то для обеспечения выгодности продажи ресурсов необходимо выполнение следующих неравенств:

a₁₁ y₁ + a₂₁ y₂ +…+ a_m1 y_m  с₁,

a₁₂ y₁ + a₂₂ y₂ +…+ a_m2 y_m  с₂,

…………………………………. (П.8)

a_1n y₁ + a_2n y₂ +…+ a_mn y_m  с_n,

Полученная экономико-математическая модель называется двойственной или сопряженной по отношению к исходной.

Цены ресурсов y₁, y₂,…, y_m получили различные названия: учетные, неявные, теневые. В отличие от «внешних» цен с₁, с₂ ,…, с_n на продукцию, известных, как правило, до начала производства, цены ресурсов y₁, y₂,…, y_m являются внутренними, ибо они определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют объективно обусловленными оценками ресурсов (Л.В.Канторович).

Построим двойственную задачу для примера П.1:

Z = 12 y₁ + 18 y₂ +15 y₃  min. (П.9)

2 y₁ + 2 y₂ + y₃  5,

y₁ + 3 y₂ + 3 y₃  6, (П.10)

y₁  0, y₂  0, y3  0.

Из алгебраических соображений легко показать, что F  Z, откуда maxF=minZ, если они существуют (основная теорема двойственности).

В нашем примере 2.1 maxF = minZ = 40.5, и объективно обусловленные оценки y₁= 0.75, y₂ = 1.75, y₃ = 0, вычисленные простым счетом в П.5, являются решением двойственной задачи (П.9)-(П.10).

Действительно, 120.75 + 181.75 + 150 = 40.5.

Из выражения (П.9) видно, что если увеличить в условии задачи какое-либо ресурсное ограничение b_i на единицу, то Z (и следовательно F) также увеличится ровно на y_i.

Однако прямая и двойственная ей задача линейного программирования имеют и экономическое истолкование. Так, в задачах на распределение ограниченных ресурсов в производстве оптимальный план можно получить, либо минимизируя издержки для заданной программы, либо максимизируя выпуск при заданной общей сумме издержек. Двойственными аспектами одной и той же задачи являются распределение ресурсов и оценка их. Если для ресурсов не существует рыночных цен, то необходимо их создать, ввести систему условных или расчетных цен.

Рассмотрим теперь пример П.2 и построим для него двойственную задачу. Напомним, что в этом примере из сена и концентратов необходимо составить суточный рацион питания, калорийность которого 20 кормовых единиц, содержание белка 2000 гр., а кальция 100 грамм. Цена сена 1.5, а концентратов 2.5 усл.единиц за 1 кг. Пусть y₁, y₂, y₃ - наша оценка (за единицу) полезности каждого из этих показателей. Тогда общая (условная) оценка рациона питания:

Z = 20 y₁ + 2000 y₂ +100 y₃.

Мы будем стремиться максимизировать Z. Если 1 кг. сена содержит 0.5 кормовых единиц, 50г белка и 10 г кальция, то оценка его питательного содержания, т.е. 0.5 y₁ + 50 y₂ + 10 y₃ , не может превышать его рыночной цены (1.5). Аналогично этому для концентратов оценка питательных веществ, равная y₁ + 200y₂ + 2y₃, не может превышать 2.5. Следовательно, двойственную задачу можно сформулировать таким образом:

Найти такие оценки питательных веществ, чтобы

Z = 20 y₁ + 2000 y₂ +100 y₃  mах (П.11)

при условии

0.5 y₁ + 50 y₂ + 10 y₃  1.5,

y₁ + 200 y₂ + 2 y₃  2.5, (П.12)

y₁  0, y₂  0, y₃  0.

Мы получили двойственную задачу к примеру П.2, в котором требовалось найти минимальную стоимость входящих в рацион продуктов питания при заданных рыночных ценах на эти продукты и при соблюдении ограничений в отношении потребности в питательных веществах. После введения условных оценок показателей питательности возникает двойственная задача (П.11)–(П.12), где требуется максимизировать условную оценку рациона питания при соблюдении ограничений, согласно которым расходы в расчете за единицу продукта не могут превышать его заданной рыночной цены. Цель первой, прямой задачи заключается в том, чтобы закупаемые продукты были, возможно, более дешевыми, удовлетворяя вместе с тем требованиям в отношении питательной ценности, а цель сопряженной двойственной задачи – в том, чтобы при заданных рыночных ценах на продукты получить рацион наиболее высокопитательный.

Имея краткую запись общей задачи линейного программирования в виде:

F = max

при ограничениях:

b_i (i=1,2,…, m),

x_j  0 (j=1,2,…n).

можно так же кратко записать двойственную к ней задачу:

_m

Z = b_iy_i  min

ⁱ⁼¹

при ограничениях:

_m

 a_ijy_i  c_j (j=1,2,…, n),

ⁱ⁼¹

y_i  0 (i=1,2,…, m).

Пример П.3. Дана исходная задача:

максимизировать линейную функцию F = 2х₁ + 3х₂  max

при ограничениях x₁ + 3x₂  18,

2x₁ + x₂  16,

x₂  5,

3x₁  21,

x₁  0, x₂  0.

Требуется составить задачу, двойственную к исходной задаче.

Решение.

Сформулируем двойственную задачу:

Z = 18 y₁ + 16y₂ + 5 y₃ + 21 y₄  min

при ограничениях y₁ + 2y₂ + 3y₄  2,

3y₁ + y₂ + y₃  3,

y_i  0, i = 1, 4.