Алгоритм Флойда.

Он работает следующим образом. Первоначально за длину d_ik кратчайшей цепи между двумя произвольными узлами i и k (между которыми могут быть и промежуточные узлы) принимают длину дуги (i,k), соединяющей эти узлы. Затем последовательно проверяют всевозможные промежуточные узлы, расположенные между i и k . Если длина цепи, проходящей через некоторый промежуточный узел, меньше текущего значения d_ik , то переменной d_ik присваивают новое значение ; если

d_ik > d_ij + d_jk , то значение d_ik заменяют значением (d_ij + d_jk). Такую процедуру повторяют для всевозможных пар узлов, пока не будут получены все значения d^*_ik.

В алгоритме Флойда начальным значением переменной d_ik является величина C_ik, а затем данная оценка последовательно улучшается до тех пор, пока не будет найдена кратчайшая цепь между узлами i и k .

Алгоритм Флойда позволяет решать задачу о многополюсной кратчайшей цепи (пути) для сети из n узлов за n итераций. Обозначим символом d^j_ik оценку длины кратчайшей цепи из узла i в узел k , полученную на j-той итерации, и рассмотрим следующую задачу.

ЗАДАЧА: Необходимо соединить восемь объектов многополосной цепью, причем один из объектов (№8) может быть только направляющим информацию, а остальные могут и направлять, и получать информацию без каких-либо ограничений.

На рисунке каждый объект представлен узлом, а каждая линия дугой.

Ориентированные дуги соответствуют распределительным звеньям, которые могут быть использованы для передачи информации только в указанном направлении. Числа, приписанные дугам, соответствуют расстоянию между объектами.

Требуется найти для каждого объекта кратчайшие пути, связывающие его с другими объектами.

РЕШЕНИЕ: Воспользуемся алгоритмом Флойда. Поскольку n=8, то число итераций в алгоритме будет 8. На каждой итерации строит матрицу длин кратчайших путей, которые содержат текущие оценки длин кратчайших цепей D^j = ||d^j_ik||, где D⁰=||C_ik||, и маршрутов R_j, служащую для нахождения промежуточных узлов ( если таковые имеются ) кратчайших цепей. На j-той итерации R^j=||r^j_ik||, где r^j_ik -первый промежуточный узел кратчайшей цепи из i в k, выбираемый среди множества { 1 , 2 , … , j }, i = j = k, R⁰=||r⁰_ik||, где r⁰_ik = k.

Узел r^j_ik может быть получен из следующего соотношения:

Строим матрицу длин кратчайших цепей D и матрицу маршрутов R , отсутствие связи помечаем знаком .

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0 9 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 9 0 2 7 2 1 2 3 4 5 6 7 8

3 2 0 2 4 8 6 3 1 2 3 4 5 6 7 8

4 3 2 0 5 4 1 2 3 4 5 6 7 8

5 7 4 0 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8

6 8 10 0 7 6 1 2 3 4 5 6 7 8

7 6 5 7 0 7 1 2 3 4 5 6 7 8

8 9 12 10 0 8 1 2 3 4 5 6 7 8

ИТЕРАЦИЯ 1:

Выбираем базовый узел j = 1. В матрице D₀ вычеркиваем j – ю строку (базовую) строку и j – ый (базовый) столбец. Чтобы определить, приведет ли использование узла 1 к более коротким цепям, необходимо исследовать элементы матрицы D₀ с помощью трехместной операции:

d^j_ik = min[d^j-1_ik;d^j-1_ij+d^j-1_jk],.

Если d^j-1_ij = , т.е. j – ый элемент базового столбца равен , то d^j_ik=d^j-1_ik.

Если d^j-1_jk=, т.е. j – ый элемент базовой строки равен , то d^j_ik=d^j-1_ik.

Если d^j-1_ik и одно из двух значений d^j-1_ij или d^j-1_jk превосходит d^j-1_ik, то замену также производить не следует.

Столбцы 3, 5, 6, 7, 8 содержат элементы, равные и принадлежащие базовой строке, а строки 3, 5 – 8 содержат элементы, равные и принадлежащие базовому столбцу, т.е. исследовать надо элементы (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4). Поскольку диагональные элементы можно не рассматривать, необходимо исследовать лишь оценки d⁰₂₄ и d⁰₄₂:

d¹₂₄= min[d⁰₂₄;d⁰₂₁+d⁰₁₄]= min[;9+3]=12;

d¹₄₂ = min[d⁰₄₂;d⁰₄₁+d⁰₁₂]= min[;3+9]=12.

Оценки d¹₂₄ и d¹₄₂ лучше оценок d⁰₂₄ и d⁰₄₂, поэтому они должны быть внесены в матрицу D₁, а в матрице маршрутов R₁ надо положить r¹₂₄=1;r¹₄₂ = 1.