§ 5. Замечательные пределы и некоторые их свойства.

Т

еорема1 (1-й замечательный предел).

Доказательство.Рассмотрим круг радиусаRс центром в точкеО. ПустьВОА, 0 <х <иСАОА (см. рис.). Тогда,,. Из геометрических соображений получим<<, откуда в результате преобразований имеем неравенства 0 < 1 -< 1 -.

В силу четности здесь всех функций эти неравенства можно считать верными .

Из левого неравенства следует, что <, и потому<. Таким образом,

0 < 1- <.

А так как , то из теоремы о зажатой функции получим

Вставка 1.

Следствие.1), 2), 3), 4),

5) , 6), 7).

Доказательство.1);

2) 0 <  ;

3) ;

4) ; 5);

6) ; 7).

Теорема2 (2-й замечательный передел)..

Доказательство. В§3 гл.IIбыл доказан предел.

1. Пусть х +. Возьмемx > 1. По свойству Архимедаn Nтакое, чтоnх <n + 1. Тогда

.

Так как , то по теореме о зажатой функции получим нужное.

2) Пусть х. Рассмотримх<1. Тогда

.

Теорема доказана.

Следствие. 1)2)(в частности,); 3)(в частности,);

4) ; 5).

Действительно:1).

2)Воспользуемся примером, тождествоми теоремой о пределе сложной функции:

3)

4).

5).

Вопросы и упражнения.

1. Докажите неравенство 0 < 1 - < 1 -при(теорема 1).

2. Почему при доказательстве теоремы 2 можно было полагать x> 1 илиx< - 1?

3. Докажите, что .

§ 6. Вычисление пределов.

В следующей главе будет показано, что если функция элементарна и точка, тоВ этом случае применимы теоремы о пределах, поскольку все слагаемые и сомножители ( значения функций в предельной точке ) конечны, причем предел знаменателя (если таковой имеется) должен быть отличен от нуля.

Пример 1.Найти.

Решение.Так как функция, стоящая под знаком предела, элементарна и, то

Таким образом, вычисление пределов от элементарных функций будет затруднено только в точках сгущения множества , не принадлежащих. Однако здесь иногда оказываются полезными свойстваб/миб/бфункций.

Пример 2.Найти.

Решение.Так как, а-б/бфункция при, то-б/мфункция прии потому

Все остальные ситуации представляют неопределенности.

Условимся в обозначениях: () -б/бфункция прих  х₀; (0) -б/мфункция прих  х₀, отличная от нуля; (1) – функция, не равная 1 и имеющая в точкех₀предел, равный 1. В этих обозначениях виды неопределенностей можно записать так:(здесьб/бфункции одного знака),. Теоретически все неопределенности можно свести к какой-либо одной из них. Так, если за исходную взять неопределенность, то:

, либо;

неопределенности логарифмированием сводятся к неопределенности. Однако на практике такие преобразования не всегда удобны. Рассмотрим некоторые рецепты для раскрытия указанных неопределенностей.

1.Для раскрытия неопределенностинужно разделить числитель и знаменатель функции на слагаемое, которое растет быстрее других (можно без коэффициента) и воспользоваться теоремами о пределах.

Пример 3.

Пример 4.

Ясно, что результат предельного перехода в таких функциях зависит только от высших степеней числителя и знаменателя (см. упр. 1).

2.При раскрытии неопределенностив зависимости от примера можно использовать следующие приемы.

2.1.В числителе и знаменателе выделяют множитель,> 0, после чего производят сокращение. В случае необходимости операцию повторяют.

Пример 5.

Пример 6.

Можно было сначала сделать замену , тогда

2. Если в выражении, стоящем под знаком предела, присутствуют тригонометрические и обратные тригонометрические функции, то полезным оказывается применение первого замечательного предела и его следствий.

Пример 7.

Пример 8.

Пример 9.

2. Если в выражении, стоящем под знаком предела, участвуют показательная , логарифмическаяили биномиальнаяфункции, то полезными оказываются следствия из второго замечательного предела.

Пример 10.

Пример 11.

Пример 12.

3. При раскрытии неопределенности в зависимости от примера выражение, стоящее под знаком предела, либо приводят к общему знаменателю, либо избавляются от иррациональности в числителе.

Пример 13.

Пример 14.

3. Неопределенность в зависимости от примера сводится к неопределенностям

Пример 15.

3. Неопределенности вида путем применения основного логарифмического тождества сводятся к неопределенности. При раскрытии неопределенностиможно непосредственно пользоваться вторым замечательным пределом.

Пример16.

( здесь и далее ); либо

3. При вычислении некоторых пределов полезно знание следующих предельных соотношений:

а)б)

в)г)

д)е)

ж)з);

и);к)

Пределы а)- е)известны со школы. Рассмотрим пределж).

Пусть и. Тогда

. (4)

Покажем, что

. (5)

Можно считать, что , т.к. припредел (5) очевиден. Пустьтогда

, где.

Но (бином Ньютона)

По теореме о «зажатой» функции получим, откуда. По той же теореме из предыдущего неравенства получим предел (5).

Далее, из этого предела и неравенства (4) имеем , или пределж).

Если в пределе ж)заменитьнаи возвести в степень, то получим пределз).Предели)вытекает изз)при заменена. Пределк)приследует изи)с помощью потенцирования. Если теперь заменитьна, то получим пределк)при

Вопросы и упражнения

1. Пустьгде> 0 и. Показать, что

2.Почему в(случай 2.1) можно производить сокращение на,>0?

3.Вычислить пределы:

а) , б), в),

г) , д), е),

ж) , з), и),

к) , л)(а> 0), м).

39