§ 4. Признаки существования пределов.

Теорема 1 (см. упр. 5,§2). Функцияfимеет предел в точкех₀тогда и только тогда, когда в этой точке существуют равные односторонние пределы. (,аR.)

Доказательствопроведем по Коши и конечногох₀. Случайх₀=() рассматривается аналогично.

1) Пусть , т.е> 0=() > 0:x D_f, 0 < |x –x₀| <|f(x) –a| <.

Это означает, что последнее неравенство имеет место xD_f,удовлетворяющих неравенствамx₀-<х <x₀иx₀<х<x₀+, откуда следует, чтоf(x₀) =а.

2) Пусть f(x₀) =а. Из существованияf(x₀ -) следует, что> 0₁=₁() > 0:x D_f ,x₀-₁<х <x₀,|f(x) –a| <.

Аналогично, из существования f(x₀ +) следует, что для того же> 0₂=₂() > 0:xD_f,x₀<х<x₀+₂,|f(x) –a| <.

Пусть =min{₁,₂}. Тогда получим, чтоxD_f, 0 < |x–x₀| <|f(x) –a| <, т.е..

Вставка 1.

Теорема2 (предел сложной функции). Пустьи, причем для некоторого> 0. Тогда.

Доказательствопроведем по Гейне.

Из условия следует, что вопределена сложная функция. Пусть {x_n}, причем. Положимy_n=f(x_n). Так как, тоиy_nа. Поэтому из условия существованияполучим, что существует.

Вставка 2.

Лемма.Для того, чтобы, необходимо и достаточно, чтобыf(x) =a+(x), где-б/ мфункция прихх₀.

Доказательство.Действительно, если, то полагаяf(x) -a=(x), по свойствам пределов получим, что, т.е. - б/ м функция прихх₀.

Обратно, если f(x) =a+(x) и, то по свойствам пределов будем иметь.

Вставка 3.

Теорема 3 (о пределе зажатой функции). Пустьвыполнено(х)f(x)g(x), причем. Тогда.

Доказательствосразу следует из теоремы о зажатой последовательности и определения предела функции в точке по Гейне.

Вставка 4.

Определение1. .

Если функция f ограничена сверху на множествеЕ, то согласно теореме 1 (§3, глI)

. Аналогично, для ограниченной снизу на множествеЕфункцииf.

Вставка 5.

Определение2. ПустьED_fих₁,х₂Е,x₁<x₂, - произвольные. Функцияfназывается:

возрастающейнаЕ, еслиf(х₁) <f(x₂);

невозрастающейнаЕ, еслиf(х₁)f(x₂);

убывающейнаЕ, еслиf(х₁) >f(x₂);

неубывающейнаЕ, еслиf(х₁)f(x₂).

Все эти функции называются монотоннымина множествеE, возрастающая и убывающая – ещестрого монотонными на Е.

Теорема4 (предел монотонной функции). Если функцияfне убывает на интервале (a,b) (конечном или бесконечном), то существуют (конечные или бесконечные) пределыf(а+) иf(b-), причемf(а+) =,f(b-) =.

Если функция fне возрастает на интервале (a,b), тоf(а+) =,f(b-) =.

Доказательство.Рассмотрим, например, пределf(b-) для неубывающей функции.

Положим М=. ЕслиМR, то по определению точной верхней грани> 0x_(a,b):M-<f(x_)M<M + ,а это и означает, чтоf(b-) =М.

Пусть М= +. Тогда  > 0 x_ (a, b): f(x_) > . Но тогдаf(x) >х[x_;b), т.е.f(b-) = +.

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Следствие.Монотонная на интервале (a,b) функция имеет конечные односторонние пределы в каждой точке этого интервала.

Доказательство. Пусть, например, функцияfне убывает на (a,b) и(a,b). Пустьх₁(a,х₀),х₂(х_0, b). Тогда

,

что и означает конечность пределов f(х₀).

Вставка 6.

Определение 3. Говорят, что функцияf удовлетворяет условию Коши при х  х₀, если> 0=() > 0:x₁,x₂ |f(x₁) –f(x₂)| <.

Теорема 5 (критерий Коши). Для того, чтобы функцияfимела конечный предел в точкех₀, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши прихх₀.

Доказательство. 1)Необходимость.Пусть, т.е.> 0=() > 0:x |f(x) –a| </2.

Пусть теперь x₁,x₂ . Тогда получим

|f(x₁) –f(x₂)||f(x₁) –а| +| f(x₂) –a| </2.+/2= ,

т.е. имеет место условие Коши.

2) Достаточность.Пусть функцияfудовлетворяет условию Коши прих х₀ и пусть для выбранного> 0 указано> 0. Рассмотрим последовательность {x_n}D_f\{x₀}, сходящуюся кx₀. Тогдаn₀:k, m >n₀x_k,x_m, а потому |f(x_k) –f(x_m)| <, т.е. последовательность {f(x_n)}- фундаментальная, она сходится.

Покажем, что не зависит от выбора последовательности {x_n}. Возьмем еще одну последовательностьD_f\{x₀}, сходящуюся кx₀, и образуем последовательностьпо правилу

(l N).

Ясно, что и по доказанному последовательностьсходится, а потому ее подпоследовательностиисходятся к тому же пределу, т.е.

.

А так как не зависит от выбора последовательности {x_n}, то.

Заметим, что критерий Коши не дает численного значения предела функции в точке и потому имеет, в основном, теоретическое применение.

Вопросы и упражнения.

1. Существуют ли пределы функции в точке, если в этой точке существуют односторонние пределы?

2. Может ли существовать предел сложной функции (х) =F(f(x)), если:

а) и;

б) и?

3)Докажите теорему 1 (§3) с помощью леммы§4 и свойствб/м(теорема 5,§3).

4)Ввести понятияи. Показать, что для существования (конечного или бесконечного) предела, необходимо и достаточно, чтобы=.

5)Построить графики функций:.

6)Доказать, что.

7)Доказать, что,а> 0.