Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
44
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
457.22 Кб
Скачать

§ 3. Признаки существования пределов.

Теорема 1 (о зажатой последовательности). Пусть приn > n1выполнены неравенстваxn znyn, причем .Тогда последовательность {zn} сходится и=а.

Доказательство. Пустьxn znyn n>n1. Тогдаn>n1xn – а zn- а yn – а, а значит,

|zna|max{|xn – а|, |yn – а|}. (1)

Пусть теперь > 0 – произвольно. Тогда в силу сходимости последовательностей {xn} и {yn} к числуа найдутсяn2=n2() иn3=n3() такие, что

|xn – а| < приn>n2,|yn – а| < приn>n3. (2)

Положим n0 =max{n1,n2,n3}. Тогда из (1) и (2) получим, что приn>n0|zna| < .А это ввиду произволаи означает, что последовательность {zn} сходится к числуа.

Вставка 1.

Определение1. Последовательность {xn} называется:

а) неубывающей, еслиnxnxn+1;

б) возрастающей, еслиnxn < xn+1;

в) невозрастающей, еслиnxn xn+1;

г) убывающей, еслиnxn > xn+1.

Все такие последовательности называются монотонными, а возрастающая и убывающая – ещестрого монотонными.

Замечание. Очевидно, что любая монотонная последовательность ограничена хотя бы с одной стороны: неубывающая и возрастающая – снизу; невозрастающая и убывающая – сверху.

Вставка 2.

Теорема2. Всякая неубывающая (невозрастающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность {xn} сходится к своей точной верхней (нижней) грани.

Доказательство. Пустьxnxn+1 n. Так как последовательность {xn} ограничена сверху, то по теореме 1 (§3, гл.I)sup{xn} =M,MR. Это означает: 1)xnМn; 2) > 0{xn}:M -<. Так какxnn >n0, тоn >n0справедливы неравенстваM-<xnМ<M + , т.е.n >n0

|xn – М| < .

А это означает, что последовательность {xn} сходится и.

Аналогично проводится доказательство в случае невозрастающей последовательности.

С учетом замечания теорему можно сформулировать следующим образом.

Теорема 2. Для того, чтобы монотонная последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.

Пример(Числоe). Рассмотрим последовательность {xn},. Имеем

.

Применяя неравенство Бернулли к первому множителю (§5, гл.I), получим

,

т.е. xn-1xnnN. Кроме того, последовательность {xn} ограничена снизу (например,xn > 0).

Следовательно, по теореме 2 последовательность сходится, поэтому существует

.

Этот предел обозначается буквой е. Можно показать, что е – иррациональное число, причем е2,718281…

Итак,

.

Логарифм по основанию еназывается натуральным и обозначается символомlnа.

Определение2. Бесконечная система сегментов {[an, bn]} называетсястягивающейся, если выполнены условия:

1) [an-1, bn-1]  [an, bn] n N; 2) .

Лемма(Кантор). Система стягивающихся сегментов {[an, bn]} имеет единственную особую точку, последовательности {an} и {bn} сходятся к этой точке.

Доказательство. Так как {an}{bn}, то по аксиоме непрерывности найдется точкас, принадлежащая всем отрезкам.

Если предположить, что таких точек, по крайней мере, две сиd,с<d, то получим, что отрезок [c, d] принадлежит всем сегментам, и потому нарушается условие .

Далее, последовательность {an} не убывает и ограничена сверху (любым числомbn), а последовательность {bn} не возрастает и ограничена снизу. По теореме 2 существуют. По теореме о пределе суммы (т. 2,§2) из условия получим.

Определение3. Последовательность {xn} называетсяфундаментальной илипоследовательностью Коши, если> 0n0=n0():n>n0иpN|xn+pxn| <.

Теорема3 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.1)Необходимость. Пусть, т.е.> 0n0=n0():n>n0|xnа| </2. Поэтомуn>n0иpNполучим

|xn+pxn| = |(xn+pa) – (xna)||xn+pa| + |xna| </2 +/2 =,

т.е. последовательность {xn} – фундаментальная.

2) Достаточность. Пусть {xn} – фундаментальная последовательность, т.е.> 0n0=n0():n>n0иpN |xn+pxn| </3. Фиксируяn0, получим

, (1)

где k=n0+p>n0. Поскольку имеется всего конечное число членов последовательности {xn} с номерами, не превосходящимиn0, то из (1) следует, что фундаментальная последовательность ограничена, а значит, существуют конечные

и.

Очевидно, что an an+1bn+1bn(поскольку при сужении множества нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается).

Далее, из (1) следует, что n>n0

,

т.е. bnan2/3< .А это означает, что .

Итак, мы имеем систему стягивающихся сегментов {[an, bn]}. По лемме Кантора последовательности {an} и {bn} сходятся к одному пределу. Тогда из неравенстваanxkbn, верногоknи теоремы 1 (о зажатой последовательности) вытекает, что последовательность {xn} сходится к тому же пределу.

Вставка 3.

Вопросы и упражнения.

  1. Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся, причемnNxn znyn. Что можно сказать о последовательности {zn}?

  2. Доказать, что а) , б)приа>1.

  3. Показать, что условие монотонности последовательности не является необходимым условием ее сходимости.

  4. Доказать, что последовательность, заданная реккурентным соотношением , сходится и найти ее предел.

  5. Доказать существование предела последовательности {xn}, где.

  6. Дать геометрическую интерпретацию критерия Коши.

  7. Доказать сходимость последовательности .

  8. Доказать расходимость последовательности .

  9. Показать, что последовательность возрастает.