§ 3. Признаки существования пределов.
Теорема 1 (о зажатой последовательности). Пусть приn > n1выполнены неравенстваxn znyn, причем .Тогда последовательность {zn} сходится и=а.
Доказательство. Пустьxn znyn n>n1. Тогдаn>n1xn – а zn- а yn – а, а значит,
|zn – a|max{|xn – а|, |yn – а|}. (1)
Пусть теперь > 0 – произвольно. Тогда в силу сходимости последовательностей {xn} и {yn} к числуа найдутсяn2=n2() иn3=n3() такие, что
|xn – а| < приn>n2,|yn – а| < приn>n3. (2)
Положим n0 =max{n1,n2,n3}. Тогда из (1) и (2) получим, что приn>n0|zn – a| < .А это ввиду произволаи означает, что последовательность {zn} сходится к числуа.
Вставка 1.
Определение1. Последовательность {xn} называется:
а) неубывающей, еслиnxnxn+1;
б) возрастающей, еслиnxn < xn+1;
в) невозрастающей, еслиnxn xn+1;
г) убывающей, еслиnxn > xn+1.
Все такие последовательности называются монотонными, а возрастающая и убывающая – ещестрого монотонными.
Замечание. Очевидно, что любая монотонная последовательность ограничена хотя бы с одной стороны: неубывающая и возрастающая – снизу; невозрастающая и убывающая – сверху.
Вставка 2.
Теорема2. Всякая неубывающая (невозрастающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность {xn} сходится к своей точной верхней (нижней) грани.
Доказательство. Пустьxnxn+1 n. Так как последовательность {xn} ограничена сверху, то по теореме 1 (§3, гл.I)sup{xn} =M,MR. Это означает: 1)xnМn; 2) > 0{xn}:M -<. Так какxnn >n0, тоn >n0справедливы неравенстваM-<xnМ<M + , т.е.n >n0
|xn – М| < .
А это означает, что последовательность {xn} сходится и.
Аналогично проводится доказательство в случае невозрастающей последовательности.
С учетом замечания теорему можно сформулировать следующим образом.
Теорема 2. Для того, чтобы монотонная последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена.
Пример(Числоe). Рассмотрим последовательность {xn},. Имеем
.
Применяя неравенство Бернулли к первому множителю (§5, гл.I), получим
,
т.е. xn-1xnnN. Кроме того, последовательность {xn} ограничена снизу (например,xn > 0).
Следовательно, по теореме 2 последовательность сходится, поэтому существует
.
Этот предел обозначается буквой е. Можно показать, что е – иррациональное число, причем е2,718281…
Итак,
.
Логарифм по основанию еназывается натуральным и обозначается символомlnа.
Определение2. Бесконечная система сегментов {[an, bn]} называетсястягивающейся, если выполнены условия:
1) [an-1, bn-1] [an, bn] n N; 2) .
Лемма(Кантор). Система стягивающихся сегментов {[an, bn]} имеет единственную особую точку, последовательности {an} и {bn} сходятся к этой точке.
Доказательство. Так как {an}{bn}, то по аксиоме непрерывности найдется точкас, принадлежащая всем отрезкам.
Если предположить, что таких точек, по крайней мере, две сиd,с<d, то получим, что отрезок [c, d] принадлежит всем сегментам, и потому нарушается условие .
Далее, последовательность {an} не убывает и ограничена сверху (любым числомbn), а последовательность {bn} не возрастает и ограничена снизу. По теореме 2 существуют. По теореме о пределе суммы (т. 2,§2) из условия получим.
Определение3. Последовательность {xn} называетсяфундаментальной илипоследовательностью Коши, если> 0n0=n0():n>n0иpN|xn+p – xn| <.
Теорема3 (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство.1)Необходимость. Пусть, т.е.> 0n0=n0():n>n0|xn–а| </2. Поэтомуn>n0иpNполучим
|xn+p – xn| = |(xn+p – a) – (xn – a)||xn+p – a| + |xn – a| </2 +/2 =,
т.е. последовательность {xn} – фундаментальная.
2) Достаточность. Пусть {xn} – фундаментальная последовательность, т.е.> 0n0=n0():n>n0иpN |xn+p – xn| </3. Фиксируяn0, получим
, (1)
где k=n0+p>n0. Поскольку имеется всего конечное число членов последовательности {xn} с номерами, не превосходящимиn0, то из (1) следует, что фундаментальная последовательность ограничена, а значит, существуют конечные
и.
Очевидно, что an an+1bn+1bn(поскольку при сужении множества нижняя грань не уменьшается, а верхняя не увеличивается).
Далее, из (1) следует, что n>n0
,
т.е. bn–an2/3< .А это означает, что .
Итак, мы имеем систему стягивающихся сегментов {[an, bn]}. По лемме Кантора последовательности {an} и {bn} сходятся к одному пределу. Тогда из неравенстваanxkbn, верногоknи теоремы 1 (о зажатой последовательности) вытекает, что последовательность {xn} сходится к тому же пределу.
Вставка 3.
Вопросы и упражнения.
Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся, причемnNxn znyn. Что можно сказать о последовательности {zn}?
Доказать, что а) , б)приа>1.
Показать, что условие монотонности последовательности не является необходимым условием ее сходимости.
Доказать, что последовательность, заданная реккурентным соотношением , сходится и найти ее предел.
Доказать существование предела последовательности {xn}, где.
Дать геометрическую интерпретацию критерия Коши.
Доказать сходимость последовательности .
Доказать расходимость последовательности .
Показать, что последовательность возрастает.