Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
23
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
457.22 Кб
Скачать

§ 2. Сходящиеся последовательности и их свойства.

Определение1. ЧислоаRназываетсяпределомпоследовательности {xn}, если последовательность {xna} являетсяб/ м. Последовательность, у которой существует предел, называетсясходящейся, в противном случае –расходящейся.

Символически факт существования предела последовательности записывается так: .

Из приведенного определения следует:

  1. если {n} - б/ мпоследовательность, то;

  2. , где {n} - б/ мпоследовательность;

  3. если , то последовательность {xn}

Перефразируем определение 1, используя понятие б/ мпоследовательности.

Определение2., если> 0n0=n0():n>n0|xna| <.

Вставка 1.

Договоримся в дальнейшем б/б последовательности рассматривать как последовательности,сходящиесяк символу(либо +, -). Например,,.

Теорема1.Cходящаяся последовательность имеет один предел.

Доказательство. Предположим, чтои, причемa b. Тогда из (2) следует, чтоxn = a + nиxn = b + n, где {n} и {n} - б/ мпоследовательности.

Имеем n - n = b – a.

С одной стороны, по теореме 2 (§1) последовательность {n - n} -б/ м; с другой, эта последовательность постояннаn - n = ba0, и потому при 0 < < |ba| получим, чтоn|n - n| >, что противоречит определениюб/ мпоследовательности. Следовательно, предположение, чтоa bневерно.

Теорема2. Алгебраическая сумма конечного числа сходящихся последовательностей сходится, причем ее предел равен алгебраической сумме пределов слагаемых.

Доказательство. Проведем доказательство для суммы двух последовательностей.

Пусть ,. Тогдаxn = a + n,yn = b + n, где {n} и {n} - б/ мпоследовательности. Далее,xn + yn = (a + b) + (n + n), причем последовательность {n +n} -б/ м(т. 2,§1). Поэтому.

Вставка 2.

Теорема3. Произведение конечного числа сходящихся последовательностей сходится, причем предел равен произведению пределов сомножителей.

Доказательство.Проведем доказательство для двух последовательностей.

Пусть ,. Тогдаxn = a + n,yn = b + n, где {n} и {n} - б/ мпоследовательности. Поэтомуxn yn = ab + (an + bn + nn). По теоремам 2 и 3 (§1) последовательность {an + bn + nn}- б/ м, а потому .

Следствие. Пусть . Тогда

1) СR; 2)kQ.

Лемма.Пустьиa < b(a > c). Тогда, начиная с некоторого номера,xn < b(xn >c).

Доказательство. Положим = ba> 0. По определению пределаn0:n>n0|xna| >ba, откуда 2ab<xn < b. Правое неравенство доказывает утверждение.

Теорема4. Если иn>n0 xn b (xn с), тоa b(aс).

Доказательство. Пусть приn>n0 xn b. Предположим, чтоa< b. Тогда по леммеn1:n>n1 xn < b,что противоречит условию. Следовательно,a b.

Замечание. Еслиxn > b, то отсюда не следует, чтоa> b, а толькоa b. Например,:, но.

Следствие. Пусть ,, причемn>n0 xnyn. Тогдаa b.

Рассмотрим последовательность {ynxn}. В силу теоремы 2 имеем. А так какn >n0 ynxn 0, по теореме 4ba 0 илиa b.

Теорема5. Пусть ,, причемnyn0 иb 0. Тогда последовательностьсходится к.

Доказательство. Пусть для определенностиb> 0. Имеем xn = a + n, yn = b + n, где

{n} и {n} - б/ м последовательности. Поэтому

. (1)

По лемме n0:n >n0 . Следовательно,n>n0

.

Это означает, что последовательность ограничена. Далее, из теорем 2 и 3 (§1) вытекает, что последовательность-б/м, а потому последовательностьтакже являетсяб/м. В силу этого из (1) получим, что последовательностьи.

Аналогично рассматривается случай b<0.

Вставка 3.

Вопросы и упражнения.

  1. Сформулировать на языке «-» тот факт, что .Показать, что.

  2. Обосновать ограниченность сходящейся последовательности. Всякая ли ограниченная последовательность сходится?

  3. Какие последовательности удовлетворяют условиям: а) > 0 иn0 =n0():n>n0? б)> 0n0 =n0():?

  4. Исказится ли определение предела, если: а) вместо |xna| <написать |xna|? б) вместоn>n0написатьnn0?

  5. Доказать, что если иk– целое фиксированное число, то .

  6. Доказать, что последовательность {sinn} расходится.

  7. Пусть в любой окрестности точки а лежит бесконечно много членов последовательности {xn}. Следует ли отсюда, что а) ? б) {xn} ограничена?

  8. Пусть . Что можно сказать о последовательности {xn}?

  9. Построить контрпримеры к теоремам 3 и5.

  10. Докажите следствие к теореме 3.

  11. Пусть .Что можно сказать о?

  12. Пусть последовательность {xn} сходится, а {yn} –б/б. Что можно сказать о последовательностях,,?

  13. Пусть последовательности {xn} и {yn} расходятся. Могут ли сходиться последовательностии?

  14. Найти пределы: а) , б), в), г).