Курс обзорных лекций
.pdf2. Основополагающим для изучения в математике арифметического материала является понятие числа. Целым неотрицатель- ным числом называется общее свойство конечных равномощных множеств. Данное понятие раскрывается в результате практического оперирования предметами, отрабатывается в процессе измерения величин, что позволяет расширить практические представления учащихся. Опираясь на данное понятие и некоторые свойства десятичной системы, дети осваивают приемы вычислений. Как следствие, вводится понятие арифметическое действие.
Понятие натурального числа осознается через рассмотрение свойств конечных множеств. Множества (без введения термина и определения в традиционной программе) служат основой формирования представлений об упорядоченности целых неотрицательных чисел, об арифметических операциях. От операций над множествами школьники постепенно переходят к счету предметов, знакомятся с названием первых десяти чисел натурального ряда. Параллельно и вне разрывной связи с изучением чисел и арифметических действий ведется работа, направленная на формирование понятий «выражения», «равенства», «неравенства». В органической связи с изучением чисел и арифметических действий дети знакомятся с понятиями «задача», «величина» и их измерениями. При расширении новой области чисел соблюдается данная логика изучения математических понятий. Понятие натурального числа усваивается в теме «Нумерация».
Нумерация – совокупность приемов обозначения и наименования натуральных чисел. Нумерация может быть устной или письменной. Устная нумерация связана с установлением взаимнооднозначного соответствия между каждым объектом совокупности и словом-числительным. Письменная нумерация рассматривается как символическое обозначение чисел.
Системой счисления называют язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними. Десятичную систему счисления называют позиционной. В позиционной системе счис- ления один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от их места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Непозиционная система счисления характеризуется тем, что каждый знак всегда обозначает одно и то же число неза-
171
висимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в позиции числа. Примером непозиционной системы счисления является римская нумерация.
С особенностями нумерации чисел и десятичной системы счисления связано ко нце нтр иче ско е пос тр оение традиционной программы по математике. Например, в концентре «Десяток» учащиеся знакомятся с принципами построения натурального ряда, осознают, что для получения числа, следующего за данным, достаточно прибавить единицу к данному числу, при этом число увеличивается. Эти знания используются при сравнении чисел. Далее школьники узнают, что каждое число может быть записано с помощью специального знака – цифры. На данном этапе учителю важно дифференцировать понятия «число» и «цифра» через систему специальных упражнений. Кроме того, учащиеся выясняют, что число можно представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Никаких обобщенных формулировок, отражающих эти положения, не дается, но учащиеся с самого начала подводятся к пониманию общности получаемых выводов.
Переход от одного концентра к другому связывается с введением новых принципиально важных для учащихся знаний в процессе формирования понятия числа. Например, в пределах 100 дети получают новую счетную единицу – десяток и узнают, что числа больше десяти образуются с использованием названий, принятых для первых десяти чисел, усваивают позиционный принцип записи чисел. В данном концентре учащиеся впервые встречаются с понятиями «разряд», «разрядные числа, содержащие единицы только одного разряда» (1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 40, 70 и т.д.), «неразрядные числа, содержащие единицы не менее двух разрядов» (17, 25, 38, 42 и т.д.); учатся представлять числа в виде суммы разрядных слагаемых (69 = 60 + 9); убеждаются в том, что десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 – основанию системы счисления.
Каждое дальнейшее расширение чисел, как правило, связывается с введением новой счетной единицы и общим принципом их образования. В концентре «1000» школьники при образовании сотни подмечают, что 10 единиц образуют новую счетную едини-
172
цу – десяток, а 10 десятков образуют новую счетную единицу – сотню. Уже на данном этапе можно сказать детям, что при образовании новых чисел соблюдается тот же принцип. Таким образом, создается основа для ознакомления детей с принципом десятичной системы счисления, который в более общей форме выступит при изучении концентра «Многозначные числа». Здесь новым для учащихся будет усвоение понятия «класс», принципа устной и письменной нумерации.
Таким образом, общая логика изучения концентров в традиционной программе позволяет младшим школьникам неоднократно возвращаться к понятию «число», закрепляя и систематизируя их знания. Благодаря концентрическому построению создается возможность рассредоточить трудности, увеличивая долю самостоятельности учащихся и условия для соответствующих обобщений.
3. В начальной школе изучают четыре арифметических действия – сложение и вычитание (действия первой ступени), умножение и деление (действия второй ступени). С теоретико-множест-
венной точки зрения конкретный смысл арифметического дейст-
вия сложения трактуется как связь операции объединения непересекающихся множеств с действием сложения.
Конкретный смысл арифметического действия вычитания рас-
сматривается как связь операции удаления из данного конечного множества его подмножества с действием вычитания (для нахождения численности другого подмножества).
Данные операции интерпретируются на основе практических упражнений (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используется). Главным средством раскрытия теоре- тико-множественного смысла является решение простых задач. Например, для того, чтобы узнать, сколько марок у Сережи и Толи вместе, надо к маркам Сережи присоединить марки Толи, т.е. объединить два множества марок и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. Отсюда следует, что сложение целых неотрицательных чисел оказывается тесно связанным с операцией объединения множеств. Для осуществления операции объединения множеств предлагаются ситуации:
173
–на увеличение данного предметного множества на несколько предметов;
–на увеличение на несколько предметов множества, равночисленного данному;
–на составление одного предметного множества из двух дан-
ных.
В предложенном примере марки Сережи можно рассматривать как одно предметное множество, а марки Толи как другое. В процессе выполнения практических действий у детей формируется представление о сложении как о действии, связанном с увеличением количества предметов.
При формировании у детей представлений о вычитании производятся следующие предметные ситуации:
–уменьшение данного предметного множества на несколько предметов (на иллюстрациях предметы, которые удаляются, зачеркиваются);
–уменьшение множества, равночисленного данному, на несколько предметов;
–сравнение двух предметных множеств при ответе на вопрос: «На сколько больше (меньше)?»
Например, в процессе решения задачи: «У Сережи было 12 марок, две из них он подарил Толе. Сколько марок осталось у Сережи?» – учащиеся выполняют соответствующие предметные действия и осознают, что предметов стало меньше, следовательно, выбираем арифметическое действие вычитание.
Конкретный смысл действия умножения трактуется как дву-
ступенная связь:
–операции объединения равночисленных непересекающихся множеств с действием сложения одинаковых слагаемых;
–арифметического действия сложения одинаковых слагаемых с арифметическим действием умножения.
Производя предметные действия при подсчете равночисленных множеств (например, пар носков), учащиеся находят более рациональный способ получения результата. При этом они знакомятся с новой записью и новой формой чтения полученных выражений. Действие умножения сводится к нахождению числа элементов в объединении, состоящем из определенного числа множеств (например, восьми пар носков), в каждом из которых находится по
174
несколько (по два) элементов. Младшие школьники, решая задачи с жизненными ситуациями, сначала опираются на иллюстрации, а затем учатся выбирать действие по представлению.
Таким образом, теоретико-множественный смысл действия умножения сводится к осознанию учащимися понятия «произведение целых неотрицательных чисел».
Конкретный смысл действия деления рассматривается как ус-
тановление связи между операцией разбиения данного множества на ряд равночисленных непересекающихся подмножеств с арифметическим действием. Выбор данного подхода объясняется опорой на жизненный опыт учащихся при введении новой терминологии и символики.
Связь разбиения конечного множества на равночисленные подмножества с действием деления раскрывается с помощью задач на деление по содержанию и на деление на равные части. В задачах на деление по содержанию дана численность множества «6 яблок разложили по 3 на тарелки. Сколько раз по 3 яблока разложили?» Необходимо найти число подмножеств.
Задачи на деление на равные части отражают операцию разбиения данного множества на известное число непересекающихся подмножеств, численность которых является искомой – «6 яблок разложили в 3 ряда поровну. Сколько яблок в каждом ряду?» Целесообразно в процессе решения данных задач использовать рисунки с точками, демонстрирующими операцию разбиения множества.
Таким образом, в процессе усвоения арифметических действий в начальных классах сначала для каждого арифметического действия раскрывается его конкретный смысл, т.е. выполняется соответствующая операция над множествами, а затем устанавливается арифметическое действие. Порядок усвоения проходит по следующим этапам:
–подготовительный этап, на котором выполняются операции над множествами;
–этап ознакомления, где учащиеся осознают связь между определенной операцией и соответствующим арифметическим действием;
–этап закрепления, когда включаются разнообразные задания на применение знаний учащихся о смысле арифметического действия.
175
С выполнением арифметических действий тесно связано формирование понятия «вычислительный прием», которое трактуется как система операций, выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия.
Выбор операций в каждом вычислительном приеме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве его теоретической основы. Содержание и система методической работы над вычислительными приемами определяются программой начальных классов, из требований которой вытекает:
–ознакомление детей и, как следствие, осознание ими конкретного смысла арифметических действий;
–на доступном уровне знакомство с теми свойствами, которые являются теоретической основой изучаемых вычислительных приемов устных и письменных вычислений;
–обеспечение сознательного и прочного усвоения основных приемов устных и письменных вычислений;
–формирование умений выбирать рациональные способы вычислений, которые быстрее всего приводят к результату;
–формирование сознательных и прочных навыков вычислений. Для успешного решения каждой из перечисленных задач в ме-
тодике работы определяются соответствующие методы обучения; отбирается система упражнений с опорой на собственный опыт учащихся (обязательным является использование практических действий), на уровень обобщения математических знаний (то, что было абстрактным на одной ступени обучения, на следующей ступени становится конкретной основой для формирования еще более абстрактных знаний); теоретические знания обязательно применяются к решению практических задач; создаются условия, при которых усвоение табличных случаев доводится до автоматизма; используются приемы алгоритмизации при выполнении письменных приемов вычислений и устанавливается правильное соотношение между устными и письменными вычислениями.
Для рационализации устных вычислений в большинстве случаев применяют свойства арифметических действий – перемести-
тельное: a + b = b + a, a · b = b · a; сочетательное: (a + b) + c =
=a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c); распределительное: (a + b) · c =
=a · b + a · c; правило вычитания числа из суммы; правило деле-
176
ния суммы на число и числа на произведение. Знакомство с любым свойством на уроках математики предусматривает использование определенной наглядности и следующую логику работы:
–знакомство с новым свойством;
–введение вычислительного приема, основанного на данном свойстве.
Вычислительное умение – готовность и способность выбрать и выполнить систему операций, составляющую прием вычисления.
В процессе формирования вычислительного умения при отборе системы операций в вычислительном приеме выделяют ряд стадий:
–закрепление знаний приема, когда учащиеся самостоятельно выполняют все операции с комментариями и развернутую запись;
–частичное свертывание операций, когда учащиеся записыва-
ют и проговаривают основные операции, вспомогательные операции выполняют про себя. При этом ученик должен уметь обосновать выбор и выполнение операций;
–полное свертывание операций, когда основные и вспомога-
тельные операции проговариваются про себя, вслух называется только ответ и выполняется краткая запись вычислительного приема;
–предельное свертывание операций, когда все операции вы-
полняются учащимися предельно быстро. Данный этап характеризуется сформированным вычислительным навыком.
Вычислительный навык – высокая степень овладения вычислительным умением, автоматизированный компонент умения.
Для формирования навыков быстрых вычислений важно обеспечить своевременный переход от развернутых объяснений к все более лаконичным устным пояснениям.
1. Каков теоретико-множественный смысл числа «три»? 2. Разведите понятия «число» и «цифра». Приведите примеры упражнений для осознания данных понятий младшими школьниками. 3. Раскройте сущность конкретного смысла арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления. 4. Приведите примеры позиционной и непозиционной систем счисления. 5. Раскройте суть позиционного принципа записи чисел. 6. Определите понятия «вычислительный прием», «вычислительное умение», «вычислительный навык». 7. Обоснуйте необходимость изучения свойств арифметических действий для изучения вычислительных приемов.
177
Лекция 24
Формирование умений у школьников решать задачи
вначальном курсе обучения
1.Сущность понятия «задача».
2.Общие и частные умения решать арифметические задачи.
3.Методические приемы в процессе работы над текстовыми задачами.
1. Задача – это математическое предложение, включающее в себя следующие существенные признаки: 1) числовые данные с их свойствами и отношениями между ними (условие задачи); 2) требование найти искомое число (вопрос задачи). Требование задачи может быть выражено предложением в повелительной форме (Найти площадь садового участка) или в вопросительной форме (Какова площадь садового участка?).
В начальном курсе математики понятие «задача» обычно используется, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют текстовыми. В свою очередь, текстовые задачи подразделяют на отвлеченные, сформулированные на математическом языке с употреблением специальной терминологии (Уменьшаемое 45, вычитаемое неизвестно, разность – 36. Чему равно вычитаемое?), и сюжетные, в которых данные или искомые числа являются численностями конкретных множеств (В пруду плавало 12 гусей и 5 уток. Сколько птиц плавало в пруду?). Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено над данными числами для получения искомого. Текст задачи поэтому должен содержать косвенные указания на ту связь, которая существует между данными числами и искомым и определяет выбор нужных арифметических действий. Отсюда основные элементы задачи
– ус л о вие и во прос . Числовые (или буквенные) данные – чаще всего элементы условия, хотя они могут быть включены и в вопрос задачи. Особенностью решения текстовой задачи является
178
то, что в процессе ее решения выполняются две взаимосвязанные проблемы: перевод содержания задачи на математический язык (математизация содержания) и решение собственно математической задачи средствами математики. В младших классах основные усилия учителя должны быть обращены на математизацию содержания текстовых задач, т.е. ученик должен уметь вычленить из задачи числовые данные и объяснить, что означает каждое из чисел. Кроме того, он должен установить связь между данными и искомым, в случае необходимости выполнить модель задачи (в виде схемы, чертежа, краткой записи и т.д.) и выбрать соответствующее арифметическое действие. Навыки вычислений отрабатываются при выполнении вычислительных приемов. Таким образом, в начальных классах формируется общее умение решать арифметические задачи.
2. В методической литературе выделяют обще е умение решать задачи и ча с тны е уме ния решать задачи. Формирование у учащихся общих умений решать задачи является одной из самых главных и сложных задач. Сформированность общего умения у школьника проверяется обычно, когда ему предлагается незнакомая задача. Если ученик отказывается решать задачу, аргументируя тем, что этому его не учили, он находится на нулевом уровне сформированности данного умения. Если он решает задачу целиком или пытается решить некоторую часть, то он владеет умением решать задачи. Показателем уровня будет служить степень сложности задачи и характер выполняемой части. Таким образом, формирование общего умения – это формирование знаний о задачах, методах и способах решения, о приемах, помогающих процессу решения задач.
Умение решать задачи включает в себя ряд взаимообусловленных и последовательно связанных между собой частных умений. Для выяснения сформированности частных умений ученикам предлагается несколько задач, в перечень которых включаются задачи, проверяющие уровень сформированности того или иного умения. К частным умениям можно отнести:
179
–умение прочитать задачу, осознать ее текст, представив ситуацию, которая дана;
–умение выделить условие и вопрос задачи и обосновать, что известно, а что надо найти;
–умение интерпретировать условие задачи;
–умение установить связь между данными и искомым и на этой основе выбрать арифметическое действие;
–умение записать решение и ответ задачи;
–умение выполнить проверку.
Все эти умения формируются в процессе целенаправленной работы учителя, которая осуществляется по следующим этапам:
1.Подготовительная работа.
2.Работа по содержанию задачи и схематическая запись условия задачи.
3.Поиск решения задачи и составление плана решения.
4.Запись решения собственно математической задачи.
5.Проверка решения задачи.
6.Запись ответа задачи.
7.Работа после решенной задачи.
На каждом этапе учитель использует различные методические приемы работы в зависимости от дидактических целей урока, степени сложности предлагаемых задач, уровня сформированности частных умений у учащихся.
3. Подготовительная работа включает в себя актуализацию тех теоретических знаний учащихся, на основе которых они будут выбирать арифметические действия в процессе решения задачи. До решения простых задач ученики должны усвоить:
–конкретный смысл арифметических действий;
–связи отношений «больше» или «меньше» (на несколько единиц или в несколько раз);
–связи между компонентами и арифметическими действиями;
–связи между величинами и соответствующим арифметическим действием.
Данные связи отрабатываются при выполнении упражнений практического характера. До решения составных задач школьники
180