58. Множинна лінійна регресія

Як правило, декілька причин є впливовими на будь-який економічний чинник.

Найбільш вживана і досить проста модель лінійної множинної регресії.

Теоретичне лінійне рівняння:

Y= β₀+β₁x₁+…+β_jx_j+…+ β_mx_m+E

Для індивідуальних значень (і =1,....n)

y_i= β₀+β₁x₁+…+β_jx_ij+…+ β_mx_im+E_i

β_j- часткові коефіцієнти регресії: кожен з них характеризує чутливість залежної змінної У до j-того фактора. Він відображає вплив на умовне математичне сподівання залежної змінної j-тої пояснювальної змінної при сталості всіх інших.

Для статистичної значущості має виконуватись нерівність: n≥3(m+1).

Емпіричне лінійне рівняння:

Y= b₀+b₁x₁+…+b_jx_j+…+b_mx_m+e

Для індивідуальних значень:

y₀= b₀+b₁x_i1+…+b_jx_ij+…+b_mx_im+e_i

e_i= y_i- b₀- b₁x_i1-…- b_mx_im

Скористаємося векторно-матричними позначеннями:

У – вектор спостережень

. Матриця спостережень, і-тий рядок якої відповідає спостереженням вектора значень пояснювальної змінної.

- стовпець коефіцієнтів рівняння регресії - стовпець відхилень експериментальних і модальних значень

Маємо лінійну економетричну модель у матричній формі: Y = X*B + e.

59. Множники Лагранжа

Для розв'язування задач нелінійного програмування не існує універсального методу, а тому доводиться застосовувати багато методів і обчислювальних алгоритмів, які ґрунтуються, здебільшого, на теорії диференціального числення, і вибір їх залежить від конкретної постановки задачі та форми економіко-математичної моделі.

Методи нелінійного програмування бувають прямі та непрямі. Прямими методами оптимальні розв'язки відшукують у напрямку найшвидшого збільшення (зменшення) цільової функції. Типовими для цієї групи методів є градієнти. Непрямі методи полягають у зведенні задачі до такої, знаходження оптимуму якої вдається спростити. До них належать, насамперед, найбільш розроблені методи квадратичного та сепарабельного програмування.

Оптимізаційні задачі, на змінні яких не накладаються обмеження, розв'язують методами класичної математики. Оптимізацією з обмеженнями-рівностями виконують методами зведеного градієнта, скажімо методом Якобі, та множників Лагранжа. У задачах оптимізації з обмеженнями-нерівностями досліджують необхідні та достатні умови існування екстремуму Куна—Таккера.

Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої задачі нелінійного програмування:

Z =f (х₁, х₂... х_п) —> mах (min) за умов

q1(x1,x2,…xn)=bi,i=1, де функція f (х1, x₂, ..., х_п) i q1(x1, x2, …xn) диференційовані.

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження екстремуму складнішої функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і подається у вигляді

де λi— не визначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.

Знайшовши частинні похідні функції L за всіма змінними і прирівнявши їх до нуля:

запишемо систему

що є, як правило, нелінійною.

Розв'язавши цю систему, знайдемо X* =(х1, x2, ..., х_п) i λ0= (λ1, λ ₂, ..., λm) — стаціонарні точки. Оскільки їх визначено з необхідної умови екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум. Іноді стаціонарна