ЗЭК-113 по матану / Лин. алгебра / Polyakova Timofeeva Shutkina

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Владимирский государственный университет

Т.В. Полякова, В.А. Тимофеева, Т.С. Шуткина

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания к типовым расчетам

Часть 1

Владимир 2010

Человек должен верить, что непонятное можно понять.

И. Гёте

Практикум представляет собой сборник кратких теоретических сведений, примеров решения задач и заданий к типовому расчету по дисциплине "Математика".

Сборник составлен в соответствии с программой курса за I семестр.

3

Глава 1

Матрицы. Системы линейных уравнений

Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицу обозначают прописными буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются строчными буквами с двойной индексацией aij, где i-номер строки, j-номер столбца:

сокращенно A = (aij), i=1,2,. . . ,m, j=1,2,. . . ,n.

Элементы матрицы, находящиеся на пересечении строки и столбца, номера которых совпадают, образуют главную диагональ и называются диагональными элементами.

Рассмотрим основные виды матриц.

1. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а из одного столбца - матрицей-столбцом:

A = a11 a12 : : : a1n - матрица-строка,

b11

B = 0B b21.. 1 - матрица-столбец.

. CA

@ bn1

2. Матрица называется квадратной n-го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

3. Единичной матрицей E называется матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, а остальные равны нулю:

4

4. Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю:

Перечислим основные операции над матрицами.

1. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A на число называется матрица

B = A, элементы которой bij = aij для i=1,2,. . . ,m, j=1, 2, . . . , n.

2. Сложение матриц.

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров, т.е. матрицы с одинаковым числом строк и столбцов.

Суммой двух матриц A и B одинакового размера m n называется матрица C = A + B, элементы которой cij = aij + bij, где aij и bij - элементы матриц A и B соответственно (i = 1; 2; : : : ; m, j = 1; 2; : : : ; n).

Пример 1.2. Выполнить сложение двух матриц A и B:

Решение. При сложении двух матриц необходимо сложить соответствующие элементы этих матриц.

5

3. Вычитание матриц.

Разность двух матриц A и B одинакового размера определяется через предыдущие операции: A B = A + ( 1)B.

Пример 1.3. Выполнить вычитание двух матриц:

Решение. При вычитании матрицы B из матрицы A, необходимо из элементов первой матрицы A вычесть соответствующие элементы второй матрицы B.

Произведением матрицы A размерности m k на матрицу B размерности k n называется матрица C, каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы

B:

перемножением соответствующих элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы B.

В результате умножения получается матрицa C = A B, у которой столько же строк, сколько в матрице A, и столько же столбцов, сколько в матрице B. Для удобства запоминания запишем это кратко:

A B = C

(m| k)(k{zn)=m} n

6

Пример 1.4. Выполнить умножение двух матриц A и B:

Решение. Матрица A имеет размерность (2 @3), а матрицаA B - (3 2). Значит в результате умножения получим матрицу C = A B размерности (2 2).

7

5. Транспонирование матрицы.

Транспонированием матрицы называют переход от матрицы A к матрице AT , в которой строки и столбцы меняют местами с сохранением порядка. Матрица AT называется транспонированной относительно матрицы A. Другими словами, для матрицы A:

Для перечисленных выше операций справедливы следующие свойства:

1.A + B = B + A - коммутативность сложения;

2.(A + B) = A + B

3.(A + B) + C = A + (B + C) - ассоциативность сложения;

4.(A B) C = A (B C) - ассоциативность умножения;

5.A (B + C) = A B + A C - дистрибутивность умножения относительно

сложения;

8

6. A B 6= B A - для двух матриц операция умножения некоммутативна.

Определители.

Определитель - число, характеризующее квадратную матрицу A, обозначается |A| или через 4.

Замечание. Определитель может быть найден только для квадратной матри-

цы.

Определителем матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком + или .

Для вычисления определителя матрицы n-го порядка используют метод приведения определителя к треугольному виду и теорему Лапласа. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. В этом случае определитель равен произведению элеменов его главной диагонали. Приведение любого определителя матрицы n-го порядка к треугольному виду всегда возможно.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

4 = ai1Ai1 +ai2Ai2 +: : :+ainAin = Pn aisAis (разложение по элементам i-й строки, s=1

i = 1; 2; : : : ; n),

4 = a1jA1j + a2jA2j + : : : + anjAnj = Pn asjAsj (разложение по элементам j-го s=1

столбца, j = 1; 2; : : : ; n).

Определителем матрицы первого порядка A = (a11) называется элемент a11:

41 = jAj = a11:

Определителем матрицы второго порядка A = (aij) называется число, которое вычисляется по формуле:

Оно равно разности произведения чисел, стоящих на главной диагонали, и произведения чисел, стоящих на побочной диагонали.

9

Пример 1.7. Вычислить определитель матрицы

Решение. Воспользуемся формулой (1.3) для вычисления определителя матрицы второго порядка:

jAj = a11a22 a21a12 = cos2 + sin2 = 1:

Ответ: jAj = 1.

Определителем матрицы третьего порядка

называется число, которое представляет алгебраическую сумму, состоящую из ше-

сти слагаемых. В каждое слагаемое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу, легко запомнить, пользуясь правилом треугольника (правилом Саррюса):

Решение. Воспользуемся формулой (1.4) для вычисления определителя матрицы третьего порядка:

10