Лекция №8. Тема: Создание аналитической геометрии р.Декартом. Геометрии Лобачевского, Римана и их применение.

1. Создание аналитической геометрии Рене Декартом.

2. Геометрии Лобачевского, Римана и их применение:

а) геометрия Лобачевского;

б) создание неевклидовой геометрии;

в) утверждение геометрии Лобачевского;

г) геометрия Римана.

1.1. Создание аналитической геометрии рене декартом.

Pене Декарт (1596-1650) (1596-1650) был выдающимся французским ученым: философом, физиком, математиком, физиологом. Образование он получил в иезуитском колледже, славившемся постановкой обучения. Всю жизнь Декарт продолжал совершенствоваться в науках. Целью естественнонаучных занятий Декарта была разработка общего дедуктивно-математического метода изучения всех вопросов естествознания. При этом Декарт совершенно отделил этот род своих занятий от метафизических рассуждений идеалистического характера. В границах физики Декарта единственную субстанцию, единственное основание бытия и познания представляет материя. Рационализм идей Декарта, признающего, прежде всего, разум, строгую дедукцию, был направлен против церковной схоластики. Природой материи, утверждал Декарт, является ее трехмерная объемность; важнейшими свойствами ее - делимость и подвижность. Эти же свойства материи должна отображать математика. Последняя не может быть либо численной, либо геометрической. Она должна быть универсальной наукой, в которую входит все, относящееся к порядку и мере. Все содержание математики должно рассматриваться с единых позиций, изучаться единым методом; само название науки должно отражать эту ее всеобщность. Декарт предложил назвать ее универсальной математикой.

Возникновение в первой половине XVII в. аналитической геометрии, установившей связь между алгеброй и геометрией, не было случайным. Оно было подготовлено как ходом развития математики до этого, так и общими потребностями производства, экономики, науки и торговли той эпохи.

Известно, что после Аполлония в Древней Греции не было крупных открытий в геометрии. В этой науке наступил длительный застой, причинами которого были не только политические и экономические условия, но и следующий существенный факт: геометрическая проблематика классического периода оказалась почти полностью исчерпанной. Все, что можно было сделать в геометрии с помощью ограниченного математического аппарата того времени, которым пользовались греки, было ими сделано, и сделанное вполне удовлетворяло запросам экономики, техники и науки.

Идеи Евдокса, Архимеда, Аполлония и других корифеев древней математики нельзя было развивать дальше без расширения понятия числа, введения в математику символики, идеи переменных величин и движения, без создания дифференциального и интегрального исчисления. Но такое революционное преобразование математики требовало не только длительного времени, но главным образом мощных внешних объективных факторов и стимулов, зависящих от производительных сил и производственных отношений. Лишь после великих географических открытий (Америки в 1492г., морского пути в Индию в 1498 г.), которые вызвали дальнейшее бурное развитие производства, торговли, мореплавания и поставили задачи составления географических карт, определения места корабля в море, составления более совершенных тригонометрических и астрономических таблиц и разработки более рациональных методов вычисления, лишь после возникновения в ряде европейских стран новой формы производства, стало заметным дальнейшее интенсивное развитие науки и техники. В трудах Галилея и других ученых была разработана новая механика, в которой нуждалось, впрочем, и военное дело, в частности баллистика, исследующая законы движения пуль и снарядов. Новое учение Коперника в астрономии привело к открытию Кеплером законов движения планет. Необходимость в более широких и точных наблюдениях небесных светил привела к построению целого ряда оптических инструментов и к развитию геометрической оптики. Все эти вопросы науки и техники поставили перед математикой ряд новых задач, неразрешимых старыми средствами и методами. Они-то и вызвали в XVII в. создание сначала аналитической геометрии, а затем дифференциального и интегрального исчисления. В основе аналитической геометрии, созданной Ферма и Р. Декартом, лежат две идеи: 1) идея координат, приведшая к арифметизации плоскости, т. е. к тому, что каждой точке плоскости ставится в соответствие два числа, взятые в определенном порядке, и наоборот, 2) идея истолкования любого уравнения с двумя неизвестными как некоторой линии на плоскости и, наоборот, представления любой линии, определяемой как некоторое геометрическое место точек, соответствующим уравнением.

Известно, что метод координат используется для изучения свойств геометрических фигур и решения геометрических задач с помощью алгебры, т. е. для развертывания координатной, ныне называемой аналитической геометрии. Еще Виет назвал свою буквенную алгебру «аналитическим искусством», что дало повод его современникам и последователям называть всякие приложения алгебры к геометрии «аналитическими». Однако термин «аналитическая геометрия» в современном смысле был введен не ее создателями Ферма и Декартом, а гораздо позже французским математиком С. Лакруа, автором учебного руководства «Курс математики» (1796−1799). Первая же работа, содержащая некоторые начала аналитической геометрии, была написана примерно в середине 30-х годов XVII в. Пьером Ферма и названа им «Введение в учение о плоских и телесных местах». К своим новым идеям Ферма пришел, основательно изучая, как и все великие математики того времени, классические труды древнегреческих ученых, в частности Аполлония. Ферма занимался даже восстановлением одного утерянного произведения Аполлония − «Плоские места». Греческие ученые древности называли «плоскими местами» прямую линию и окружность, а «телесными» − конические сечения. Термин «геометрические места» (плоское место, телесное место) появился тогда, когда в соответствии с идеями Аристотеля линию рассматривали не как множество точек, а как место, где расположены (лежат) точки.

В предисловии к «Введению» Ферма указывает, что древнегреческие ученые не обладали общими методами решения геометрических задач. Каждая задача трактовалась отдельно и независимо от других, с нею родственных. Отсутствие единого общего подхода к исследованию и решению задач, как и отсутствие символики, приводило к повторениям одного и того же и делало невозможным рационально классифицировать разрозненные задачи и обозревать их сущность с более широкой точки зрения. Ферма задался целью установить общий подход к исследованию геометрических мест.

«Геометрия» Декарта была впервые опубликована на французском языке в 1637 г. в качестве одного из трех приложений к его философскому труду «Рассуждение о методе». В этом, как и в других своих произведениях, Декарт высказал мысль, что математика является важнейшим средством для понимания законов вселенной и лучшим подтверждением того, что человеческий разум способен найти истину в науке и познавать природу. Еще в 23-летнем возрасте Декарта озарила мысль о перестройке всех наук на математической, аналитической основе, мысль о создании одной единой и всеобъемлющей науки − «универсальной математики». Эта мысль его постоянно воодушевляла, хотя ему так и не удалось осуществить ее полностью. «Геометрия» Декарта и появилась как частичная реализация общей его идеи, как объединение арифметики и алгебры с геометрией.

Фактически «Геометрия» Декарта является алгебраическим трудом, и мало в ней можно найти из того, что мы сегодня называем «аналитической геометрией», однако основная идея последней − алгебраический способ исследования вопросов геометрии с помощью метода координат − в ней четко изложена. Декарт начинает с утверждения, что всякая геометрическая задача сводится в конце концов к нахождению длины или к построению некоторых отрезков, в связи с чем он развивает свое исчисление отрезков. Чтобы ввести в геометрию предлагаемый им алгебраический метод и доказать его превосходство над методами древнегреческих ученых, Декарт обращается к так называемой «задаче Паппа», известной в древности как задача «о геометрическом месте к трем или более прямым». Она состоит в следующем. Даны три, четыре или более прямых (АВ, AD, EF и GH ). Известны расстояния ,, , , ... от некоторой точки С плоско­сти до этих прямых (если эти расстояния СВ, CD, CF и СН «наклон­ны» к прямым, то даются и углы наклона: CBA, CDA, CFE и CHG). Требуется найти гео­метрическое место таких точек С, чтобы выполнялось условие: при трех прямых, при четырех прямых и т. д. Эта задача восходит к доевклидовой эпохе, ее решением занимались многие математики, включая Евклида, Аполлония и Паппа, но полного решения ей так и не было дано. Один только Аполлоний ее решил для 3-х и 4-х прямых.

Решение Декарта (устаревшее по форме и изложению и поэтому для нас довольно тяжелое) сводится к следующему. Он относит все линии к двум главным прямым: АВ, называемую х, и ВС. Последний отрезок он обозначает через у.

Прямая АВ выбирается как ось X, точка А − как начало координат. Ось Y по существу отсутствует, но подразумевается как направленная параллельно ВС. В целом система координат такая же, как и у Ферма. Для искомого геометрического места точки С Декарт после ряда выкладок получает уравнение:

(1)

Это уравнение второго порядка, представляющее коническое сече­ние, в котором каждая буква означает некоторый отрезок (расстояние). Уравнение (1) представляет, по Декарту, длину отрезка ВС, если АВ или х берется неопределенным (т. е. как переменная). Далее Декарт занимается вопросом о том, какое именно коническое сечение изображает уравнение (1) при тех или иных значениях постоянных (коэффициент), входящих в него. Если радикал в правой части (1) равен нулю, пишет Декарт, то точка С описывает прямую . И в случае, если этот корень извлекается, искомое место будет некоторой прямой.

Значительная часть «Геометрии» посвящена методам алгебраического и графического решения уравнений.

Итак, не только у Ферма, но и у Декарта еще нет того, что мы называем системой декартовых координат на плоскости, есть только ось абсцисс с начальной точкой на ней. Хотя «Геометрия» Декарта еще не представляла собой настоящую аналитическую геометрию, все же она как наука развивалась именно под влиянием этой книги Декарта, а не под влиянием «Введения» Ферма, появившегося в печати лишь в 1679 г.

Из-за нелегкого стиля и нечеткого способа изложения «Геометрия» Декарта оказалась очень трудной для чтения. Уже в 1649 г. француз Ф. Дебон в своих «Кратких замечаниях» комментирует и несколько дополняет Декарта. Так же поступил голландский математик Франц ван Скоотен, издававший «Геометрию» Декарта на латинском языке в 1649 и 1659 гг. У ван Скоотена мы уже находим самостоятельное уравнение прямой у = а − х, преобразования координат и др. Дж. Валлис впервые ввел и отрицательные абсциссы, которые он применил наряду с отрицательными ординатами. Метод координат с трудом пробивал себе дорогу. Некоторые из продолжателей дела Декарта хотя и рисовали вторую ось координат, но не применяли ее. Существенным толчком для дальнейшего развития координатной геометрии на плоскости были небольшой труд Ньютона «Перечисление кривых третьего порядка» (1706) и книга его соотечественника Дж. Стирлинга «Ньютоновы кривые третьего порядка» (1717), в которых рисовались обе оси (хотя ось У еще не считалась равноправной с осью X) и квадранты. Лишь Г. Крамер в своем «Введении в анализ алгебраических кривых» (1750) впервые по современному ввел ось К, считая ее равноправной с осью Х , и четко пользовался понятием двух координат точки на плоскости. Этого новшества, однако, еще нет во втором томе «Введения в анализ» (1748) Эйлера. С другой стороны» эта работа Эйлера, посвященная геометрии, явилась первой в сов­ременном смысле аналитической геометрии конических сечений. Близкие к современным новые обозначения и расположение материала плоской аналитической геометрии мы находим впервые у С. Лакруа в «Элементарном курсе прямолинейной и сферической тригонометрии и приложений алгебры к геометрии», который переиздавался много раз на протяжении целого столетия, начиная с 1798 г.

Аналитическая геометрия в трудах Эйлера, у его современников и последователей. Большая часть математических работ Л. Эйлера относится, как известно, к области математического анализа. Тем не менее, он посвятил более 75 трудов геометрии и разным ее применениям. Он получил важнейшие результаты в теории алгебраических кривых и в дифференциальной геометрии и положил начало топологии, учению о симметрии и о других геометрических преобразованиях.

Опубликованный в 1748 г. второй том «Введения в анализ» Эйлера по праву считается первым курсом аналитической геометрии в современном смысле. Эта книга состоит из двух частей, первая из которых посвящена плоской аналитической геометрии, а вторая, названная автором «Приложения о поверхностях», − пространственной. Именно в «Приложении», состоящем из шести глав, дано первое систематическое изложение аналитической геометрии трех измерений. В главе I вводится система декартовых координат в пространстве, при этом рассматриваются 8 октантов, образованных плоскостями координат, излагаются условия симметрии относительно координатных плоскостей, находится расстояние между началом и любой точкой пространства. В главе II («О сечениях поверхностей какими-либо плоскостями») выводятся уравнения общих цилиндрических и конических поверхностей. В главе III излагается теория плоских сечений кругового цилиндра и конуса. Глава IV содержит вывод формул преобразования координат в пространстве с использованием знаменитых «углов Эйлера». Глава V содержит исследование общего уравнения второго порядка с тремя переменными. В ней дана классификация квадрик, т е. поверхностей второго порядка, и выводятся канонические уравнения для эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов и параболоидов. Гиперболический параболоид встречается здесь впервые. В последней главе содержатся примеры пространственных кривых.

Как первый том «Введения в анализ» Эйлера, так и второй отличаются большой доступностью изложения. Это послужило одной из причин широкого распространения книги, которая оказала значительное влияние на другие курсы аналитической геометрии XVIII в.

В последней четверти XIX столетия начался следующий важнейший этап в развитии аналитической геометрии как науки: введение в нее учения о геометрических преобразованиях и теории инвариантов. Аналитическая геометрия имела большое значение для развития дифференциальной геометрии, проективной геометрии, аналитической механики и других разделов математики и физики. Она и в настоящее время необходима для изучения математики и естествознания. Исходя из двумерной и трехмерной, развилась многомерная и бесконечномерная аналитическая геометрия. В известной мере продолжение идей классической аналитической геометрии отражено в современном функциональном анализе, обобщающем понятия математического анализа, и в общей алгебраической геометрии, связанной с теорией функций и с топологией.

Еще до открытия неевклидовой геометрии гениальный русский математик Н. И. Лобачевский написал в 1823 г. учебное руководство, озаглавленное «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская (от латинского fusio — литье, слияние) точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии; наоборот, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, т. е. аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует преподавать параллельно. Так, рядом с кругом Лобачевский рассматривает шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве, почти одновременно трактует многоугольники и многогранники, измерение прямолинейных и телесных углов. Лишь в конце прошлого столетия итальянский математик Г. Веронезе также стал проводить в своих учебных руководствах по элементарной геометрии идею фузионизма. Метод фузионизма не потерял своего значения и в наши дни.