real_q_I_1 / real_q_I_1

Вопросы для подготовки к I части модульного контроля (I семестр).

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1. Множества и элементарные операции над ними. Примеры. Множества натуральных, целых и рациональных чисел.

2. Множество вещественных чисел, ограниченных сверху. Supremum. Теорема о существовании супремума.

3. Множество вещественных чисел, ограниченных снизу. Infimum. Теорема о существовании инфимума.

4. Ограниченные и неограниченные множества.

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

5. Определение и способы задания числовой последовательности. Примеры.

6. Предел числовой последовательности. Теорема о единственности редела.

7. Ограниченные и неограниченные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности.

8. Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности и их свойства.

9. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

10. Предельный переход в неравенствах.

11. Подпоследовательности, частичный предел последовательности. Примеры.

12. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса.

13. Число e.

14. Лемма о вложенных промежутках. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

15. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

16. Определение, способы задания, важнейшие классы функций.

17. Понятие обратной функции. Сложная функция.

18. Определение предела функции в точке. Примеры.

19. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.

20. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

21. Первый замечательный предел. Пример.

22. Свойства функций, имеющих предел.

23. Предел монотонной функции.

24. Критерий Коши существования предела функции.

25. Бесконечно малые, бесконечно большие функции и их сравнение.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ.

26. Непрерывность функции.

27. Классификация точек разрыва функции.

28. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.

29. Непрерывность строго монотонной функции. Следствия из непрерывности строго монотонной функции.

30. Непрерывность элементарных функций.

31. Теорема об обращении функции в ноль.

32. Теорема о промежуточном значении.

33. Первая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

34. Вторая теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.

35. Асимптотические формулы. Примеры.

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.

36. Определение производной. Таблица производных элементарных функций.

37. Дифференцируемость функции. Дифференциал.

38. Геометрический и физический смысл производной.

39. Основные правила дифференцирования. Примеры.

40. Производная обратной функции. Примеры.

41. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Примеры.

42. Логарифмическая производная функции. Примеры.

43. Производная параметрически заданных функций. Примеры.

44. Производная функции, заданной неявно. Примеры.

45. Гиперболические функции и их производные.

46. Использование дифференциала в приближенных формулах.

47. Производные высших порядков. Примеры. Формула Лейбница.

48. Основные теоремы дифференциального исчисления. Монотонность.

49. Локальный экстремум. Теорема Ферма.

50. Теорема Ролля.

51. Теорема Лагранжа.

52. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Коши.

53. Следствия из теоремы Лагранжа. Теоремы о постоянстве и монотонности функций.

54. Отсутствие у производной разрывов первого рода.

55. Правило Лопиталя. Неопределенность вида .

56. Правило Лопиталя. Неопределенность вида . Другие виды неопределенностей.

57. Формула Тейлора для многочлена.

58. Разложение произвольной функции по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

59. Примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

60. Другие формы остаточного члена.

61. Достаточные условия экстремума функции.

62. Выпуклость функции.

63. Точки перегиба.