Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-5 _нтеграл Лебега для ВФ

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

5. Інтеграл Лебега від обмежених ВФ

Нехай A - вимірний простір з скінченою мірою. вимірна функція. Визначимо поняття ІЛ для такої функції.

За теоремою 3.2 про границю послідовності простих функцій - послідовність простих ВФ, що рівномірно збігається до на . Розглянемо послідовність відповідних інтегралів: , та покажемо, що ця послідовність фундаментальна.

Лема 1.	(Фундаментальність послідовності інтегралів від простих функцій)
	Послідовність - фундаментальна.

Доведення. З рівномірної збіжності слідує, що . Тоді при маємо: , що й доводить фундаментальність цієї послідовності.

Лема доведена.

З фундаментальності цієї послідовності слідує її збіжність, тобто існує .

Лема 2.	(Єдиність границі послідовності інтегралів від простих функцій)
	Границя послідовності не залежить від вибору послідовності простих функцій.

Доведення. Нехай інша послідовність простих функцій . Тоді , а також . Тоді при , а тому , а тому .

Лема доведена.

З двох останніх лем коректно визначений інтеграл Лебега для довільної обмеженої вимірної функції .

Нехай - обмежена ВФ, - послідовність простих ВФ, що на рівномірно збігається до . Інтеграл Лебега визначається рівністю:

. (1)

Якщо - обмежена ВФ, - довільна вимірна множина, то - також обмежена ВФ, а тому інтеграл Лебега від ВФ по множині визначається формулою:

. (2)

З цих означень слідує, що будь-яка обмежена ВФ інтегрована за Лебегом.

Теорема 1.	(Лінійність ІЛ)
	Якщо . – обмежені ВФ, то .

Теорема 2.	(Інтеграл Лебега від невід’ємної функції)
	Якщо функція обмежена ВФ і , то .

Теорема 3.	(Інтеграл Лебега від нерівних функцій)
	Якщо . – обмежені ВФ, та , то .

Теорема 4.	(Інтеграл Лебега нульової функції)
	Якщо функція обмежена ВФ і , то .

Наслідок.	(Інтеграл Лебега від рівних функцій)
	Якщо функції обмежені ВФ і , то .

Теорема 5.	(Модуль інтеграл Лебега)
	Якщо функція обмежена ВФ, то .

Нехай задана деяка обмежена ВФ , розглянемо функцію множин, що визначена на A . З означень зрозуміло, що .

Теорема 6.	(Злічена адитивність ІЛ)
	Функція множин злічено адитивна, тобто, якщо A, то

Теорема 7.	(Абсолютна неперервність ІЛ)
	Функція множин абсолютно неперервна відносно міри .

Теорема 8.	(зв’язок інтегралів Рімана та Лебега)
	Якщо функція інтегрована за Ріманом на проміжку , то вона також інтегрована на цьому проміжку за Лебегом та при цьому обидва ці інтеграли співпадають.

Доведення. Ми довели, що довільна обмежена ВФ інтегрована за Лебегом. Але її обмеженість слідує з інтегрованості за Ріманом, а тому для інтегрованості за Лебегом достатньо довести її вимірність.

Розглянемо розбиття проміжку на рівних частин точками та покладемо , , де - відповідні екстремуми функції на проміжках, а . Легко зрозуміти, що в кожній точці проміжку виконуються нерівності: та , а тому існують границі: , , які внаслідок відповідних теорем є ВФ. Оскільки та - прості ВФ, то

. Але з визначення інтеграла Рімана

, аналогічно , а тому . З того, що функція інтегрована за Ріманом, то ліва та права частини останньої нерівності прямують до інтеграла Рімана, а тому і середина також прямує до інтеграла Рімана . Але тоді , але оскільки , а тому й функція майже всюди співпадає з цими двома функціями, звідки слідує її вимірність. А тому інтеграл Лебега існує, з останніх нерівностей він і співпадає з інтегралом Рімана.

Теорема доведена.