Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-8 _нтеграл Лебега на необмежених множинах

.doc
Скачиваний:
93
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
101.89 Кб
Скачать

2

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

8. Інтегрування по множині нескінченної міри

Нехай як і раніше A - простір з скінченою мірою, у якому . З визначення слідує, що існує неспадна послідовність ВМ , для якої і .

Спочатку розглянемо випадок невід’ємної функції. Нехай - вимірна невід’ємна на . Оскільки усі множини - вимірні, то мають зміст інтеграли . Вони мають скінченні чи нескінченні значення. Зрозуміло, що послідовність неспадна, а тому існує границя з .

Інтеграл Лебега від невід’ємної функції по множині з скінченою мірою визначається рівністю: . Якщо , то функцію називають сумовною, або інтегрованою за Лебегом на .

Лема 1.

(Коректність визначення ІЛ для невід’ємної функції)

Визначення ІЛ не залежить від вибору послідовності ВМ .

Доведення. Нехай задана інша монотонно неспадна послідовність ВМ , що задовольняє умови: , . Покажемо, що .

Побудуємо з послідовності диз’юнктну послідовність , для якої виконуються умови: , . Тоді , а звідси внаслідок зліченої адитивності ІЛ маємо:

. Якщо тепер перейти до границі при , одержимо нерівність: . Внаслідок рівноправності послідовностей одержимо аналогічно протилежну нерівність, а тому має місце потрібна рівність.

Лема доведена.

Нехай тепер - ВФ довільного знаку. Визначимо невід’ємні функції .

Функція називається сумовною, або інтегрованою за Лебегом на , якщо сумовні на обидві функції . При цьому інтеграл Лебега визначається рівністю: .

Для сумовності ВФ необхідно й достатньо сумованість . При цьому залишаються чинними теореми про граничний перехід, Фату, Леві.