Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-8 _нтеграл Лебега на необмежених множинах
.doc
Глава 11
Вимірні функції. Інтеграл Лебега
8. Інтегрування по множині нескінченної міри
Нехай як і раніше A - простір з скінченою мірою, у якому . З визначення слідує, що існує неспадна послідовність ВМ , для якої і .
Спочатку розглянемо випадок невід’ємної функції. Нехай - вимірна невід’ємна на . Оскільки усі множини - вимірні, то мають зміст інтеграли . Вони мають скінченні чи нескінченні значення. Зрозуміло, що послідовність неспадна, а тому існує границя з .
Інтеграл Лебега від невід’ємної функції по множині з скінченою мірою визначається рівністю: . Якщо , то функцію називають сумовною, або інтегрованою за Лебегом на .
Лема 1. |
(Коректність визначення ІЛ для невід’ємної функції) |
|
Визначення ІЛ не залежить від вибору послідовності ВМ . |
Доведення. Нехай задана інша монотонно неспадна послідовність ВМ , що задовольняє умови: , . Покажемо, що .
Побудуємо з послідовності диз’юнктну послідовність , для якої виконуються умови: , . Тоді , а звідси внаслідок зліченої адитивності ІЛ маємо:
. Якщо тепер перейти до границі при , одержимо нерівність: . Внаслідок рівноправності послідовностей одержимо аналогічно протилежну нерівність, а тому має місце потрібна рівність.
Лема доведена.
Нехай тепер - ВФ довільного знаку. Визначимо невід’ємні функції .
Функція називається сумовною, або інтегрованою за Лебегом на , якщо сумовні на обидві функції . При цьому інтеграл Лебега визначається рівністю: .
Для сумовності ВФ необхідно й достатньо сумованість . При цьому залишаються чинними теореми про граничний перехід, Фату, Леві.