Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-4 _нтеграл Лебега для простих функц_й

.doc
Скачиваний:
91
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
228.86 Кб
Скачать

3

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

4. Інтеграл Лебега від простих функцій

Нехай A - вимірний простір з скінченою мірою. проста вимірна функція, тобто

, (1)

, (2)

де - вимірні множини.

Інтеграл Лебега по множині (по простору ) функції позначається символом або та для простої функції (1),(2) визначається рівністю:

. (3)

Лема 1.

(Коректність визначення ІЛ для простих функцій)

Попереднім означення ІЛ визначено коректно.

Доведення. Покажемо, що це визначення не залежить від вибору розбиття простору . Нехай в представленні (1) усі сталі різні, припустимо що в нас є інше представлення простору та простої функції: , . При такому поданні кожна з множин є об’єднанням тих множин , для яких . Далі з адитивності міри одержимо:

, що й доводить коректність визначення.

Лема доведена.

Якщо - вимірна множина, - її ХФ, тоді

.

Нехай задана довільна вимірна множина . Якщо - проста ВФ, то добуток також проста ВФ, що дає змогу визначити інтеграл Лебега від простої ВФ по будь-якій множині:

. (4)

Розглянемо випадок основного простору , L – клас усіх лебегівських множин простору , - міра Лебега. Тоді інтеграл по відрізку позначається як або аналогічно до інтегралу Рімана , а інтеграл по будь-якій вимірній підмножині через .

Теорема 1.

(Лінійність)

Якщо прості ВФ, , то .

Доведення. Нехай , , , . Легко зрозуміти за побудовою, що функція приймає значення на множині , а тому , де Далі просто з визначення інтегралу та адитивності міри одержимо:

.

Теорема доведена.

Теорема 2.

(ІЛ від невід’ємної функції)

Якщо проста ВФ і , то .

Доведення. Нехай , тоді невід’ємність функції майже всюди означає, що якщо , то , а тому .

Теорема доведена.

Наслідок 1.

(ІЛ від нерівних функцій)

Нехай прості ВФ і , то .

Для доведення достатньо застосувати теорему для функції .

Наслідок 2.

(Двобічна оцінка ІЛ)

Якщо - проста ВФ і на ВМ , то

.

Наслідок 3.

(ІЛ від нульової функції)

Якщо проста ВФ і , то .

Достатньо в попередньому наслідку покласти .

Наслідок 4.

(ІЛ від рівних функцій)

Нехай прості ВФ і , то .

Наслідок 5.

(ІЛ від модуля)

Якщо проста ВФ, то

Нехай деяка фіксована проста ВФ. Визначимо на алгебрі L вимірних множин числову функцію L за формулою

, L. (5)

Зрозуміло, що . Дослідимо інші властивості функції .

Теорема 3.

(Злічена адитивність ІЛ по проміжку інтегрування)

Функція множин , що визначається формулою (5) злічено адитивна, тобто якщо , L, то , при цьому ряд у правій частині рівності збігається абсолютно.

Доведення. Нехай , . Із зліченої адитивності міри та з одержаних вище властивостей, маємо:

. В правій частині ми маємо лінійну комбінацію збіжних знакосталих рядів, а тому можна довільним чином міняти місцями порядок додавання, і одержаний ряд буде абсолютно збіжним. Далі маємо:

.

Теорема доведена.

Функція L називається абсолютно неперервною відносно міри , якщо : L: .

Теорема 4.

(Про абсолютну неперервність ІЛ)

Функція множин , що визначається формулою (5) є абсолютно неперервною функцією множин відносно міри .

Доведення. Нехай проста ВФ, . Тоді покладемо . Тоді при маємо: .

Теорема доведена.