Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-4 _нтеграл Лебега для простих функц_й
.doc
Глава 11
Вимірні функції. Інтеграл Лебега
4. Інтеграл Лебега від простих функцій
Нехай A - вимірний простір з скінченою мірою. проста вимірна функція, тобто
, (1)
, (2)
де - вимірні множини.
Інтеграл Лебега по множині (по простору ) функції позначається символом або та для простої функції (1),(2) визначається рівністю:
. (3)
Лема 1. |
(Коректність визначення ІЛ для простих функцій) |
|
Попереднім означення ІЛ визначено коректно. |
Доведення. Покажемо, що це визначення не залежить від вибору розбиття простору . Нехай в представленні (1) усі сталі різні, припустимо що в нас є інше представлення простору та простої функції: , . При такому поданні кожна з множин є об’єднанням тих множин , для яких . Далі з адитивності міри одержимо:
, що й доводить коректність визначення.
Лема доведена.
Якщо - вимірна множина, - її ХФ, тоді
.
Нехай задана довільна вимірна множина . Якщо - проста ВФ, то добуток також проста ВФ, що дає змогу визначити інтеграл Лебега від простої ВФ по будь-якій множині:
. (4)
Розглянемо випадок основного простору , L – клас усіх лебегівських множин простору , - міра Лебега. Тоді інтеграл по відрізку позначається як або аналогічно до інтегралу Рімана , а інтеграл по будь-якій вимірній підмножині через .
Теорема 1. |
(Лінійність) |
|
Якщо прості ВФ, , то . |
Доведення. Нехай , , , . Легко зрозуміти за побудовою, що функція приймає значення на множині , а тому , де Далі просто з визначення інтегралу та адитивності міри одержимо:
.
Теорема доведена.
Теорема 2. |
(ІЛ від невід’ємної функції) |
|
Якщо проста ВФ і , то . |
Доведення. Нехай , тоді невід’ємність функції майже всюди означає, що якщо , то , а тому .
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(ІЛ від нерівних функцій) |
|
Нехай прості ВФ і , то . |
Для доведення достатньо застосувати теорему для функції .
Наслідок 2. |
(Двобічна оцінка ІЛ) |
|
Якщо - проста ВФ і на ВМ , то . |
Наслідок 3. |
(ІЛ від нульової функції) |
|
Якщо проста ВФ і , то . |
Достатньо в попередньому наслідку покласти .
Наслідок 4. |
(ІЛ від рівних функцій) |
|
Нехай прості ВФ і , то . |
Наслідок 5. |
(ІЛ від модуля) |
|
Якщо проста ВФ, то |
Нехай деяка фіксована проста ВФ. Визначимо на алгебрі L вимірних множин числову функцію L за формулою
, L. (5)
Зрозуміло, що . Дослідимо інші властивості функції .
Теорема 3. |
(Злічена адитивність ІЛ по проміжку інтегрування) |
|
Функція множин , що визначається формулою (5) злічено адитивна, тобто якщо , L, то , при цьому ряд у правій частині рівності збігається абсолютно. |
Доведення. Нехай , . Із зліченої адитивності міри та з одержаних вище властивостей, маємо:
. В правій частині ми маємо лінійну комбінацію збіжних знакосталих рядів, а тому можна довільним чином міняти місцями порядок додавання, і одержаний ряд буде абсолютно збіжним. Далі маємо:
.
Теорема доведена.
Функція L називається абсолютно неперервною відносно міри , якщо : L: .
Теорема 4. |
(Про абсолютну неперервність ІЛ) |
|
Функція множин , що визначається формулою (5) є абсолютно неперервною функцією множин відносно міри . |
Доведення. Нехай проста ВФ, . Тоді покладемо . Тоді при маємо: .
Теорема доведена.