Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-2 Посл_довност_ вим_рних функц_й

3

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

2. Послідовності вимірних функцій

Деяка властивість виконується -майже всюди (майже всюди, майже скрізь), якщо вона справджується на множині , де .

Усі функції, які будуть вивчатися в подальшому вважаються майже всюди скінченими, тобто .

Дві функції називаються еквівалентними, якщо вони майже всюди співпадають. Позначатимемо цей факт так: ~.

Теорема 1.	(Відношення еквівалентності)
	Відношення, що визначено вище є відношенням еквівалентності.

Доведення очевидне.

Внаслідок цієї теореми можна розглядати фактор множини в просторі усіх вимірних функцій, тобто множину класів, кожен з яких складається з еквівалентних функцій. При вивченні теорії вимірних функцій, теорії інтегрування часто можна нехтувати значеннями функцій на множинах міри нуль. Це означає, що ВФ можна замінити будь-якою їй еквівалентною, тобто довільною функцією з того ж класу еквівалентності. Інакше кажучи, при розглядання вказаних питань, кажучи про функцію, ми маємо не одну функцію, а клас еквівалентних функцій.

Розглянемо усі функції визначеними на просторі A із скінченою мірою. Визначимо або нагадаємо різні типи збіжностей послідовностей ВФ.

Послідовність ВФ рівномірно збігається до ВФ .

Послідовність ВФ поточково збігається до ВФ .

Зрозуміло, що з поточкової збіжності рівномірна збіжність не слідує, а от з рівномірної завжди слідує поточкова. Вище було доведено, що гранична функція поточково (і рівномірно) збіжної послідовності ВФ також буде ВФ.

Послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ .

Послідовність скінчених ВФ називається збіжною за мірою до ВФ , якщо .

Лема 1.	(Міра додатності ВФ)
	Якщо - ВФ та . Тоді : .

Доведення. З очевидної рівності та із зліченої напівадитивності міри, одержимо , а тому принаймні один доданок правої частини додатний.

Лема доведена.

Теорема 2.	(Єдність границі за мірою)
	Якщо , , то .

Доведення. Якщо припустити, що , тобто , тоді з леми : , але тоді

. Звідки одержимо:

- протиріччя. Теорема доведена.

Теорема 3.	(Лебега)
	Якщо послідовність ВФ , то .

Доведення. Позначимо як множину, для якої , тоді за умовою . Покладемо , , . Зрозуміло, що усі ці множини вимірні. Крім того, спадна, а тому з теореми про неперервність . Покажемо, що . Якщо для заданого : . Тобто , оскільки , тому і з умови одержимо потрібне: .

Теорема доведена.

Зауваження.

Зворотне твердження до теореми Лебега не має місця, тобто існують послідовності вимірних функцій, що збігаються за мірою, але не збігаються майже всюди.

Теорема 4.	(Рісса)
	Нехай послідовність скінчених ВФ збігається за мірою до ВФ . Тоді з неї можна виділити таку підпослідовність , для якої .

Доведення. Розглянемо монотонно спадну до нуля послідовність додатних чисел , а також послідовність додатних чисел , для якої збігається ряд . Покажемо, як вибирати потрібну підпослідовність.

Оскільки , то : . Аналогічно : . І так далі, : . Покажемо, що .

Покладемо , . Зрозуміло, що - спадна, а тому , крім того , а тому із збіжності ряду його залишок прямує до нуля, а тому й при , з чого . Залишається показати, що . Нехай , тоді при деякому . Але тоді з визначення : . З слідує, що умови .

Теорема доведена.

Зауваження 1.	Теорема Рісса припускає узагальнення на випадок скінченої міри.
Зауваження 2.	Теорема Лебега не припускає узагальнення на випадок скінченої міри.

Теорема 5.	(Єгорова)
	Нехай послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ . Тоді - вимірна множина, така що та на збігається до рівномірно.

Доведення. покладемо . При доведенні теореми Лебега було доведено, що . Розглянемо монотонно спадну послідовність додатних чисел , що прямує до нуля, а також додатний збіжний ряд . : . Знайдемо таке , що , покладемо . З останніх нерівностей . Покладемо , то очевидно, що . Покажемо, що на . . Виберемо так, щоб . Тоді : , що й доводить потрібну збіжність на .

Теорема доведена.