Глава 10
Міра Лебега
1. Теорія множин
Нехай - основний простір, всі елементи, а також множини, що розглядаються в даному розділі належать цьому простору.
Нехай деяка послідовність множин з. Назвемоверхньою границею послідовності множин множину усіх, що належать нескінченній кількості множин з, і позначимо її через;нижньою границею послідовності множин множину усіх, що належать всім множинам з, починаючи з деякої, і позначимо її через. Будемо казати, щопослідовність множин має границю, якщо виконується рівність , множину, що є спільним значенням цих двох границь будемо називатиграницею послідовності позначатимемо.
Непорожня система множин R називається кільцем, якщо вона замкнена відносно операцій об’єднання та різниці, тобто з умови R , R слідує, що R, R .
Зрозуміло, що кільце також замкнене відносно скінчених об’єднань та перетинів.
Алгеброю A множин називається кільце R підмножин множини , що містить.
Очевидно, що алгебра замкнена відносно операції доповнення, тобто з умови A A.
Диз’юнктним об’єднанням сукупності множинназивається об’єднання попарно неперетинаючихся множин, таку систему множин також називатимемодиз’юнктною.
Лема 1. |
(Подання об’єднання через диз’юнктне об’єднання) |
|
Нехай - довільна послідовність множин, що належить кільцюR . Тоді існує така диз’юнктна послідовність множин R , що задовольняє умови: 1) ; 2),. |
Доведення. Достатньо вказати принцип побудови послідовності R : ,,,...,,...
Лема доведена.
Кільце множин R (алгебра множин A) називається кільцем (сигма кільцем) (алгеброю), якщо воно разом з довільною послідовністю містить також і їх об’єднання . (Замкненість відносно зліченого об’єднання, або об’єднання).
Для будь-якої не порожньої системи множин підмножин множининазвемоRкільцем, що породжується множиною (породженим кільцем), або кільцевою оболонкою множини , таке кільце, що містить , а також само міститься в будь-якому іншому кільці, що містить. Повністю аналогічно визначаєтьсяпороджена алгебра, кільце, алгебра.
Теорема 1. |
(Про породжене кільце) |
|
Для будь-якої не порожньої системи підмножин множиниіснує одне і тільки одне породжене кільцеR. |
Доведення. Кільця, що містять існують, наприклад одним з таких буде множина. Розглянемо перетин усіх кілець, що містять:R, де- сукупність усіх кілець, що містить. Очевидно за побудовою, щоR- кільце, що містить, крім того воно міститься в усіх інших кільцях. Звідси також слідує, що воно єдине.
Теорема доведена.
Наведене доведення не є конструктивним. Але можна легко вказати засіб побудови R- це сукупність множин, що утворюються з множинв результаті застосування скінченої кількості операцій об’єднання та віднімання.
Аналогічно доводиться існування породженого кільця, алгебри,алгебри.
Приклад 1. |
Нехай - дійсна вісь,- сукупність усіх півінтервалів типу. Легко зрозуміти, що породженим кільцемRє сукупність множин, що складається із об’єднань скінченої кількості півінтервалів. |
Півкільцем назвемо сукупність множин, що є замкненим відносно перетину, а також має властивість::.