Lektsii_Rubleva_1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-03 _нтеграли Р_мана та Дарбу

3

Глава 8

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

3. Інтеграли Рімана та Дарбу

Нехай обмежена на - вимірному брусі функція, - сіткове розбиття бруса на комірки, мірою комірки виступає її об’єм . Позначимо через , . Далі ми проведемо теорію визначення інтеграла Рімана через інтегрованість за Дарбу, аналогічно тому, як це ми зробили у випадку одновимірного інтеграла Рімана. Більшість тверджень доводяться повністю аналогічно одновимірному випадку, а тому залишаємо їх без доведення.

Суми , називаються відповідно верхньою та нижньою інтегральними сумами Дарбу для функції , що відповідають сітковому розбиттю бруса .

Нехай - деяке сіткове розбиття бруса на комірки , . Розбиття цього бруса, що утворюється з сіткового розбиття шляхом подальшого сіткового розбиття деяких комірок розбиття на комірки називається продовженням розбиття .

Нехай - два сіткових розбиття бруса . Сукупність усіх перетинів комірок розбиття з комірками розбиття та навпаки визначає нове сіткове розбиття бруса , яке називається спільним розбиттям для розбиттів . Воно є продовженням кожного з розбиттів та .

Лема 1.	(Інтегральні суми на продовженому розбитті)
	Нехай - обмежена функція, що визначена на брусі , - продовження сіткового розбиття бруса , тоді виконуються нерівності:
	,	(1)

Наслідок.	(Зв’язок верхніх та нижніх інтегральних сум)
	Для будь-яких двох сіткових розбиттів бруса виконується нерівність:
	,	(2)

Нехай - обмежена функція, що визначена на брусі . Числа , називаються відповідно верхнім та нижнім інтегралом Дарбу від функції на брусі .

Лема 2.	(Зв’язок інтегралів Дарбу)
	Якщо - обмежена функція, що визначена на брусі , то
		(3)

Обмежена функція називається інтегрованою у розумінні Дарбу на брусі , якщо виконується рівність: . Це спільне значення верхнього та нижнього інтегралів Дарбу для функції називається - кратним (- вимірним) інтегралом Дарбу

Теорема 1.	(Критерій інтегрованості у розумінні Дарбу)
	Функція інтегрована на брусі тоді і тільки тоді, коли існує сіткове розбиття бруса таке, що .

Теорема 2.	(зв’язок інтегрованості за Дарбу та Ріманом)
	Обмежена функція інтегрована за Ріманом на брусі тоді і тільки тоді, коли вона інтегрована у розумінні Дарбу.

Множина точок має лебегову міру нуль, якщо існує таке не більш ніж злічене покриття цієї множини відкритими брусами , сумарна міра яких менше за , тобто .

Нагадаємо основні властивості множин лебегової міри нуль, які ми розглядали раніше, коли вивчали інтегрованість на дійсній осі.

Властивість 1.	(Лебегова міра зліченого набору точок)
	Якщо множина - злічена, то вона має лебегову міру нуль.
Властивість 2.	(Злічена кількість множин лебегової міри нуль)
	Якщо множини мають лебегову міру нуль, то і їх об’єднання також має лебегову міру нуль.

Властивість 3.	(Лебегова міра гіперплощин в просторах більшої розмірності)
	Якщо множина гіперплощина в просторі , тобто , то вона має лебегову міру нуль.

Доведення. Ми проведемо доведення на випадок прямої (осі абсцис) на евклідовій площині. Легко буде зрозуміло, що це доведення узагальнюється на випадок довільного натурального .

Х	Розглянемо рис. 1, на якому зображена Декартові система координат, та покажемо як знайти відповідне покриття брусами. Виберемо деяке , побудуємо прямокутник (відкритий) , далі розглянемо ще два прямокутники: та , далі ще два мають вигляд:
Рис. 1

, і т.д. Зрозуміло, що усі вісь абсцис покрита такою сукупністю відкритих брусів. Обчислимо міру (об’єм) цієї множини:

, якщо , тобто достатньо покласти значення , наприклад, і ми одержимо потрібне покриття. Повністю аналогічно можна збудувати покриття .

Властивість доведена.

Остання властивість є в подальшому буде дуже корисною при визначенні та вивченні кратних та криволінійних інтегралів. Її узагальнення ми розглянемо в теорії міри, де буде визначено та доведено наступні твердження.

Обмежений многовид , , називається регулярним, якщо існує скінчена сукупність брусів , що покриває і така, що .

Так, наприклад, для регулярності - вимірного многовиду достатньо, щоб його можна було задати рівнянням вигляду: , де визначена та неперервна на деякому компакті.

Теорема 3.	(Міра регулярного многовиду)
	Якщо - обмежений регулярний многовид в просторі , розмірності менше за , то - вимірна за Лебегом та .

Теорема 4.	(Лебега – критерій інтегрованості за Ріманом)
	Нехай функція - обмежена, позначимо множину її точок розриву через , тоді множина має лебегову міру нуль.