Lektsii_Rubleva_1 / Гл 08 Кратн_ кривол_н_йн_ та поверхнев_ _нтеграли / Пар 8-17 Застосування кратних _нтеграл_в та основи векторного анал_зу

2

Глава 8

Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

17. Застосування кратних, криволінійних та поверхневих інтегралів

Про обчислення вимірних об’ємів ми вже розповідали:

(1)

зокрема, у випадках та , ми одержимо формулу для обчислення площі на площині та звичайного об’єму в просторі .

Розглянемо на площині деяку область , яка має площу. Нехай в ній розподілена неперервно маса з густиною , тоді число

(2)

називається масою пластинки. Аналогічно в просторі (і в будь-якому ) масою тіла називається величина:

(3)

Якщо це густини розповсюдження заряду, то з цих формул одержимо заряд тіла, але він може приймати і від’ємні значення.

Статичні моменти відносно координатних осей матеріальної пластинки визначаються за формулами:

,

(4)

Моменти інерції відносно координатних осей матеріальної пластинки визначаються за формулами:

,

(5)

Координати центра ваги пластинки знаходяться з співвідношення:

,

(6)

Аналогічно визначаються статичні моменти для просторового тіла .

Статичні моменти відносно координатних площин знаходяться за формулами:

(7)

Моменти інерції:

(8)

Координати центра ваги :

(9)

Момент інерції відносно початку координат (полярний момент інерції):

(10)

Про довжині дуг та площі поверхонь було розказано в темах криволінійні та поверхневі інтеграли..

Нехай вздовж кусково-гладкої кривої розподілена густина , яка є інтегрованою на . Тоді, зберігаючи всі позначення, маємо обчислення маси, статичних моментів, моментів інерції та координати центра ваги:

; ,...; ,...; ,...

(11)

Якщо - проста кусково-гладка поверхня в просторі , та вздовж кусково-гладкої поверхні розподілена густина , то маємо:

; ,...; ,...; .

(12)