Lektsii_Rubleva_1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-8 Властивост_ ФП та ФР

5

Глава 6

Ряди

6.8. Властивості ФП та ФР

Нехай в цьому розділі виконується умова: всі функції, що розглядаються визначені на деякій спільній множині .

Теорема 1.	(Ознака Діні для ФП)
	Нехай ФП монотонна і поточково на множині . Тоді, якщо , то на цій множині .

Доведення. Нехай неспадна, покладемо , тоді для ФП маємо такі властивості:

1) , ;

2) незростаюча ;

3) при .

Треба показати, що , що означає : , але внаслідок не зростання достатньо, щоб : , тоді і для усіх більших номерів буде виконуватись така ж нерівність.

Від супротивного, припустимо, що це не виконується, тобто умова не виконується на , а тому : . З теореми Больцано-Вейєрштрасса : при . Всі функції неперервні в точці . Але з іншого боку з чого слідує, що , але це суперечить умові: при , бо в точці воно не виконується.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Ознака Діні для ФР)
	Нехай усі члени ФР неперервні і невід’ємні на і сума , то на .

Це є просте переформулювання попередньої теореми для послідовності часткових сум ряду , з чого все й слідує.

Приклад.	Дослідити на рівномірну збіжність ФП на множині .
	Перевіримо, що виконуються умови теореми Діні. 1) при ; 2) спадає; 3) . З теореми 1 маємо висновок на .

Теорема 3.	(Перехід до границі в ФР)
	Нехай для ФР виконуються умови: 1) на ; 2) ; тоді і виконуються рівності: (знак суми та границі можна міняти місцями).

Доведення. 1) Спочатку покажемо, що ряд - збіжний. З критерію Коші для ФР запишемо: :

. Зробимо граничний перехід при

, тобто для числового ряду виконується критерій Коші, а тому він збіжний.

2) Оцінимо в околі точки різницю:

. Виберемо довільне , тоді із збіжності ряду та з рівномірної збіжності ФР слідує, що їх залишки прямують до нуля (для ФР рівномірно), а тому : , , але тоді для скінченої кількості доданків, оскільки при , то що , що й треба було довести.

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Граничний перехід у ФП)
	Нехай ФП на і ( - гранична точка множини ), то та виконуються рівності: .

Це є переформулювання теореми на випадок ФП.

Наслідок 1.	(Неперервність суми ФР та границі ФП в точці)
	Якщо в умовах теореми 3 (теореми 4) додатково вимагати, щоб: 1) ; 2) функції неперервні в точці , то функція буде неперервною в точці функцією.

Доведення. Розглянемо відповідну рівність з теореми 3.

, що доводить неперервність функції . Аналогічно доводиться для ФП.

Наслідок доведено.

Наслідок 2.	(Неперервність суми ФР та границі ФП на сегменті)
	Якщо усі члени ФР (члени ФП ) неперервні на і , то функція .

Для доведення достатньо перевірити, що виконуються умови попереднього наслідку в кожній точці сегменту .

Теорема 5.	(Інтегрування неперервної ФП)
	Якщо ФП на і , то і цю ФП можна інтегрувати почленно, тобто .

Доведення. Умова безпосередньо слідує з умови .

З умови слідує, що : . З теореми 1 , а далі легко одержимо:

, звідки і слідує потрібна рівність.

Теорема доведена.

Теорема 6.	(Інтегрування ФП)
	Якщо ФП на і , то і цю ФП можна інтегрувати почленно, тобто .

Доведення. Розглянемо деяке розбиття проміжку :

. Тоді маємо такі оцінки:

. З рівномірної збіжності ФП : першій та третій доданки не перевищують . Тоді можемо записати: (коливання на му проміжку розбиття), помножимо кожну відповідну нерівність на та додамо від до , тоді одержимо: існує таке розбиття , для якого , з чого слідує інтегрованість за Ріманом функції , а відповідний граничний перехід доводиться аналогічно до попередньої теореми.

Теорема доведена.

Теорема 7.	(Інтегрування ФР)
	Якщо ФР на і , то і цей ФР можна інтегрувати почленно, тобто .

Це є пере формулювання відповідної теореми 5.

Теорема 8.	(Диференціювання ФП)
	Нехай для ФП та ФП похідних на , а сама ФП збігається принаймні в одній точці . Тоді та цю послідовність можна почленно диференціювати, тобто та .

Доведення. Спочатку доведемо рівномірну збіжність ФП . З того, що та можемо записати: : та . Нехай - довільна точка з , а тому для різниці виконуються усі умови теореми Лагранжа на проміжку між точками та . Тому , для якої виконуються умови: . Тоді маємо: . З того, що остання нерівність справджується для усіх , то ФП є рівномірно фундаментальною, а тому на . Позначимо граничну функцію через . Залишається показати диференційованість , та збіжність .

розглянемо функції: , , де , а також . За умовою . Розглянемо оцінку ():

, крім того . Таким чином ФП рівномірно фундаментальна, а тому й рівномірно збіжна. З умови та з визначення функцій , слідує, що . Таким чином, якщо використати теорему про граничний перехід у ФП, можна одержати:

, що доводить диференційованість функції та потрібну збіжність.

Теорема доведена.

Теорема 9.	(Диференціювання ФР)
	Нехай для ФП та ФР на , а сам ФР збігається принаймні в деякій точці . Тоді ФР та цей ФР можна почленно диференціювати, тобто .

Пере формулювання теореми 8.

Теорема 10.	(Первісна ФП)
	Якщо існує первісна для функції , та ФП , то має первісну на . Якщо - довільна точка на , і - така первісна функції , що , то , де - первісна граничної функції , у якої .

Доведення. Оскільки , то виконуються умови теореми 8, а тому : та .

Теорема доведена.

Теорема 11.	(Первісна ФР)
	Якщо існує первісна для функції , та ФР , то має первісну на . Якщо - довільна точка на , і - така первісна функції , що , то , де - первісна граничної функції , у якої .