Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-9 Степенев_ ряди

.doc
Скачиваний:
120
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
233.98 Кб
Скачать

3

Глава 6

Ряди

6.9. Степеневі ряди

ФР вигляду , де називається степеневим рядом (СР).

Заміною СР ряд загального вигляду зводиться до СР виду , який в подальшому ми й будемо досліджувати, усі результати, що одержані для останнього ряду легко переводяться у результати для СР загального вигляду.

Радіусом збіжності СР називається число . Оскільки множина , то радіус збіжності довільного СР в множині завжди існує. Множина називається кругом збіжності степеневого ряду. Чому така назва пояснюють наступні твердження.

Теорема 1.

(Про нормальну збіжність СР)

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР в крузі збігається нормально.

Доведення. З означення верхньої межі і при цьому . Тоді , але ряд - абсолютно збіжний, а тому і ряд - збіжний, що й завершує доведення теореми.

Теорема доведена.

Наслідок 1.

(Область поточкової збіжності СР)

Нехай - радіус збіжності СР. Тоді СР збігається в крузі збіжності . Якщо , то СР розбігається поточково зовні круга збіжності, тобто в тих точках, де .

Наслідок 2.

(Область обмеженості СР)

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . Якщо , то .

Наслідок 3.

(Область нескінченної малості СР)

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . Якщо , то .

Наслідок 4.

(Область абсолютної збіжності СР)

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР - абсолютно збіжний. Якщо , то цей СР абсолютно розбіжний.

Наслідок 5.

(Область рівномірної збіжності СР)

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР в крузі збігається рівномірно.

Теорема 2.

(Абеля)

Нехай числовий ряд збігається при деякому . Тоді СР збігається в крузі .

Доведення. Оскільки ряд збігається, то (з наслідку 1), отже , а далі все слідує з теореми 1.

Теорема доведена.

Теорема 3.

(Коші-Адамара)

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . При цьому, якщо , то , і при .

Доведення. З умов теореми ми маємо, що

. (1)

Якщо , то з радикальної ознаки Коші числовий ряд збіжний, а тому з наслідку 4 .

Якщо , то , а тому з наслідку 2

Нехай тепер . З радикальної ознаки Коші та рівності (1) маємо:

ряд - збіжний, а тому , тобто . Аналогічно, якщо , то з тієї ж рівності (1) дістанемо, що , а тому з наслідку 3 маємо З останніх двох рівностей маємо потрібне .

Теорема доведена.

Наслідок.

(Формула д’Аламбера для радіуса збіжності)

Якщо для степеневого ряду існує , то радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулою: .

Доведення. Це твердження є наслідком відомої теореми з теорії послідовностей. Якщо для послідовності існує границя , то також існує границя та вони співпадають. А далі залишається скористатися самою теоремою.

Наслідок доведено.

Теорема 4.

(Властивості СР)

Степеневий ряд з радіусом збіжності має такі властивості на множині :

  1. його сума неперервна;

  2. його можна почленно інтегрувати на проміжку ;

  3. його можна почленно диференціювати довільну кількість разів.

Одержані в пунктах 2), 3) СР мають такі ж самі круги збіжності, що й початковий СР.

Для доведення достатньо перевірити, що за формулою Коші-Адамара радіус збіжності не змінюється.

Будемо казати, що функція може бути розкладеною в степеневий ряд на множині (на множині ), якщо існує СР, що збігається до функції на множині (на множині ), тобто , .

Наслідок 1.

(Необхідна умова розвинення функції в СР)

Для того, щоб функцію можна було розкласти в СР на проміжку , необхідно, щоб вона мала на цьому проміжку неперервні похідні довільного порядку.

Це є безпосередній наслідок теореми 4.

Наслідок 2.

(Єдність розкладу функції в СР)

Якщо на проміжку для функції виконується рівність , то коефіцієнти СР знаходяться однозначно.

Доведення. З теореми 4 після кратного диференціювання одержимо рівність: , з якої після підстановки нуля одержимо:

. (2)

Наслідок доведено.

СР для функції , коефіцієнти якого визначаються за формулами (2) називається рядом Тейлора для функції .

Наслідок 3.

(Розвинення в ряд Тейлора функції)

Якщо функція розкладається в СР, то цей ряд є рядом Тейлора функції .

Теорема 5.

(Радіуси збіжності п’яти основних розвинень)

Для функцій , , радіус збіжності СР дорівнює нескінченності, для функцій та радіус збіжності дорівнює одиниці.