Lektsii_Rubleva_1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-9 Степенев_ ряди
.doc
Глава 6
Ряди
6.9. Степеневі ряди
ФР вигляду , де називається степеневим рядом (СР).
Заміною СР ряд загального вигляду зводиться до СР виду , який в подальшому ми й будемо досліджувати, усі результати, що одержані для останнього ряду легко переводяться у результати для СР загального вигляду.
Радіусом збіжності СР називається число . Оскільки множина , то радіус збіжності довільного СР в множині завжди існує. Множина називається кругом збіжності степеневого ряду. Чому така назва пояснюють наступні твердження.
Теорема 1. |
(Про нормальну збіжність СР) |
|
Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР в крузі збігається нормально. |
Доведення. З означення верхньої межі і при цьому . Тоді , але ряд - абсолютно збіжний, а тому і ряд - збіжний, що й завершує доведення теореми.
Теорема доведена.
Наслідок 1. |
(Область поточкової збіжності СР) |
|
Нехай - радіус збіжності СР. Тоді СР збігається в крузі збіжності . Якщо , то СР розбігається поточково зовні круга збіжності, тобто в тих точках, де . |
Наслідок 2. |
(Область обмеженості СР) |
|
Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . Якщо , то . |
Наслідок 3. |
(Область нескінченної малості СР) |
|
Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . Якщо , то . |
Наслідок 4. |
(Область абсолютної збіжності СР) |
|
Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР - абсолютно збіжний. Якщо , то цей СР абсолютно розбіжний. |
Наслідок 5. |
(Область рівномірної збіжності СР) |
|
Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР в крузі збігається рівномірно. |
Теорема 2. |
(Абеля) |
|
Нехай числовий ряд збігається при деякому . Тоді СР збігається в крузі . |
Доведення. Оскільки ряд збігається, то (з наслідку 1), отже , а далі все слідує з теореми 1.
Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Коші-Адамара) |
|
Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . При цьому, якщо , то , і при . |
Доведення. З умов теореми ми маємо, що
. (1)
Якщо , то з радикальної ознаки Коші числовий ряд збіжний, а тому з наслідку 4 .
Якщо , то , а тому з наслідку 2
Нехай тепер . З радикальної ознаки Коші та рівності (1) маємо:
ряд - збіжний, а тому , тобто . Аналогічно, якщо , то з тієї ж рівності (1) дістанемо, що , а тому з наслідку 3 маємо З останніх двох рівностей маємо потрібне .
Теорема доведена.
Наслідок. |
(Формула д’Аламбера для радіуса збіжності) |
|
Якщо для степеневого ряду існує , то радіус збіжності степеневого ряду можна знайти за формулою: . |
Доведення. Це твердження є наслідком відомої теореми з теорії послідовностей. Якщо для послідовності існує границя , то також існує границя та вони співпадають. А далі залишається скористатися самою теоремою.
Наслідок доведено.
Теорема 4. |
(Властивості СР) |
|
Степеневий ряд з радіусом збіжності має такі властивості на множині :
Одержані в пунктах 2), 3) СР мають такі ж самі круги збіжності, що й початковий СР. |
Для доведення достатньо перевірити, що за формулою Коші-Адамара радіус збіжності не змінюється.
Будемо казати, що функція може бути розкладеною в степеневий ряд на множині (на множині ), якщо існує СР, що збігається до функції на множині (на множині ), тобто , .
Наслідок 1. |
(Необхідна умова розвинення функції в СР) |
|
Для того, щоб функцію можна було розкласти в СР на проміжку , необхідно, щоб вона мала на цьому проміжку неперервні похідні довільного порядку. |
Це є безпосередній наслідок теореми 4.
Наслідок 2. |
(Єдність розкладу функції в СР) |
|
Якщо на проміжку для функції виконується рівність , то коефіцієнти СР знаходяться однозначно. |
Доведення. З теореми 4 після кратного диференціювання одержимо рівність: , з якої після підстановки нуля одержимо:
. (2)
Наслідок доведено.
СР для функції , коефіцієнти якого визначаються за формулами (2) називається рядом Тейлора для функції .
Наслідок 3. |
(Розвинення в ряд Тейлора функції) |
|
Якщо функція розкладається в СР, то цей ряд є рядом Тейлора функції . |
Теорема 5. |
(Радіуси збіжності п’яти основних розвинень) |
|
Для функцій , , радіус збіжності СР дорівнює нескінченності, для функцій та радіус збіжності дорівнює одиниці. |