Lektsii_Rubleva_1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-2 Перетворення Фур'є
.doc
Глава 9
Ряд та інтеграл Фур’є
2. Перетворення Фур’є
Якщо для функції функції обчислюються за формулами
, , (1)
то тригонометричний інтеграл
(2)
називається інтегралом Фур’є (або повторним інтегралом Фур’є) функції .
Його так само можна записати в комплексній формі:
, (3)
де
, (4)
при цьому зрозуміло, що мають місце рівності
, . (5)
Функція називається перетворенням Фур’є (показниковим перетворенням Фур’є), а функції , що обчислені за формулами (1) називаються відповідно косинус та синус перетворенням Фур’є.
Покладемо
, (6)
тоді інтеграл (3) набуває вигляду
, (7)
тоді функція називається симетричним перетворенням Фур’є функції .
Теорема 1. |
(Рімана-Лебега) |
|
Якщо , тобто інтегрована за Ріманом на дійсній осі в невласному розумінні, то |
Без доведення.
Наслідок 1. |
(Синус та косинус перетворення Фур’є на нескінченності)) |
|
Якщо . Тоді косинус та синус перетворення Фур’є функції прямують до нуля при . |
Це все слідує із зв’язку трибометричного інтегралу Фур’є та його запису у показниковій формі.
Наслідок 1. |
(Синус та косинус перетворення Фур’є на нескінченності)) |
|
Якщо . Тоді косинус та синус перетворення Фур’є функції прямують до нуля при . |
Наслідок 2. |
(Поведінка інтегралу на нескінченності)) |
|
Якщо , то при . |
Доведення. відрізняється лише сталим множником від перетворення Фур’є функції . Зрозуміло, що , а тому цей інтеграл прямує до нуля при .
Наслідок доведено.
Наслідок 3. |
(Поведінка коефіцієнтів Фур’є на нескінченності)) |
|
Якщо , то коефіцієнти (а тому і ) прямують до нуля при . |
Доведення слідує з попереднього наслідку, якщо покласти в ньому , .
Наслідок доведено.