Lektsii_Rubleva_1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-7 Диференц_ювання та _нтегрування РФ

Властивості:

(АНФ)

1.

В означенні АНФ замість скінченої кількості проміжків можна взяти їх злічену кількість.

2.

Будь-яка АНФ є ФОВ.

3.

Множина АНФ утворюють лінійний простір.

4.

АНФ може бути поданою як різниця двох неспадних АНФ.

5.

Якщо , то функція є АНФ.

6.

Якщо - АНФ, то її похідна є інтегрованою за Ріманом на функцією і .

Теорема 1.

(Похідна АНФ та її РФ)

Якщо АНФ і - періодична, то формально про диференційований її РФ збігається з РФ для функції , тобто.

(1)

Наслідок 1.

(та похідна РФ)

Якщо - періодична функція -диференційована, а її -ша похідна є АНФ на , то формально про диференційований разів РФ функції збігається з РФ функції , тобто

(2)

Наслідок 2.

(та похідна РФ)

Якщо - періодична функція неперервна на разом із своїми похідними до -го порядку включно, а кусково неперервна на , то РФ можна почленно диференціювати не менше як разів і разів про диференційований РФ буде збігатися до .

Теорема 2.

(Періодичність первісної)

Функція - періодична тоді і тільки тоді, коли , тобто вільний член РФ функції дорівнює нулеві.

Теорема 3.

(Коефіцієнти Фур’є первісної)

Якщо функція - періодична, то і .

Наслідок.

(Збіжність РФ первісної)

Якщо і , то формально про інтегрований РФ функції збігається рівномірно.