Lektsii_Rubleva_1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-3 Ознаки зб_жност_ ряду Фур'є

4

Глава 9

Ряд та інтеграл Фур’є

3. Ознаки збіжності ряду Фур’є

Тут і далі через будемо позначати клас усіх - періодичних функцій, інтегрованих за Ріманом на проміжку , і тим самим на будь-якому скінченому проміжку.

Теорема 1.	(Діріхле)
	Якщо , тоді
	,	(1)
	де є частковою сумою ряду Фур’є функції в точці , де
		(2)
	називається ядром Діріхле.

Доведення.

в першому інтегралі робимо заміну , тоді одержимо в продовженні:

, де

тепер будемо збирати лише дійсну частину виразу, оскільки ліва частина дійсна

, що й треба було довести.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Принцип локалізації Рімана)
	Нехай , тоді існує така нескінченно мала послідовність , що залежить від , що
	.	(3)

Доведення. Нехай . Враховуючи тотожність

і формулу (3) можемо записати рівність:

. (4)

Оскільки , то ця функція обмежена при . Тому в формулі (4) усі інтеграли крім першого є синус та косинус перетвореннями Фур’є деяких функцій (ці функції треба продовжити нулем на всю дійсну вісь, крім вказаного проміжку), а тому з наслідку з теореми Рімана-Лебега прямують до нуля при , саме їх сума і дає нам шукану нескінченно малу послідовність .

Теорема доведена.

Теорема 3.	(Ознака Діні)
	Нехай . Якщо існують такі і функція така, що
		(5)
	Інтегрована за Ріманом на , то РФ функції збігається до в точці .

Доведення. Покладемо в теоремі 2 , тоді одержимо таке співвідношення:

. Далі з принципу локалізації маємо: . З наслідку теореми Рімана-Лебега при , а , що й треба було довести.

Теорема доведена.

Функція задовольняє умову Ліпшиця порядку з сталою в точці , якщо : виконується нерівність:

(7)

Теорема 4.	(Ознака Ліпшиця)
	Нехай . Якщо в точці виконується умова Лівшиця деякого порядку , то РФ функції збігається в цій точці до значення .

Доведення. В умовах ознаки Діні покладемо в якості . Оскільки , то при параметр , а тому , а тому з ознаки Діні при .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(РФ диференційованої функції)
	Якщо і в точці існує похідна , то РФ функції збігається в точці до значення .

Доведення. З існування похідної слідує існування границі , а тому в деякому околі точки виконується нерівність (при ), що відповідає виконанню умови Ліпшиця з порядком .

Наслідок доведено.

Наслідок 2.	(РФ функції з узагальненими похідними)
	Якщо і в точці існують обидві узагальнені похідні , , то РФ функції збігається в точці до значення .

Доведення. Нагадаємо означення узагальнених похідних:

, , вони узагальнюють поняття лівосторонньої та правосторонньої похідних у точці. Якщо останні існують, то вони зрозуміло, що співпадають з узагальненими відповідними похідними. Для доведення наслідку достатньо в ознаці Діні покласти , а далі все просто.

Наслідок доведено.

Наслідок 2.	(РФ кусково гладкої функції)
	Якщо є кусково гладкою на проміжку , то РФ функції збігається в точці до значення , тобто в точці неперервності функції РФ збігається до , а в точці розриву першого роду до середнього арифметичного границь на краях.

Безпосередньо слідує з попереднього наслідку.