Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva_1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-1 Тригонометричний ряд Фур'є

.doc
Скачиваний:
109
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
132.61 Кб
Скачать

2

Глава 9

Ряд та інтеграл Фур’є

1. Тригонометричний ряд Фур’є

Функція називається - періодичною, якщо існує : та .

Теорема 1.

(Про найменший період)

Якщо , - періодична та відмінна від сталої, то вона має найменший додатний період.

Теорема 2.

(Про рівномірну неперервність)

Якщо і - періодична, то вона рівномірно неперервна на .

Теорема 3.

(Про інтегрування по періоду)

Якщо - періодична і , то і

(1)

Якщо функція - періодична, то функція є - періодичною, і навпаки, якщо - - періодична, то функція є - періодичною. Тому в подальшому будемо вивчати лише - періодичні функції.

Лінійна комбінація тригонометричних функцій (2)

називається тригонометричним многочленом.

Якщо скористатися формулою Ейлера, то можна тригонометричний многочлен переписати у іншому вигляді.

, (3)

де

, , (4)

Теорема 4.

(Обчислення коефіцієнтів Фур’є )

Нехай виконується рівність (3), тоді

,

(5)

Доведення. Виберемо деяке . Тоді: , що й треба було довести.

Теорема доведена.

Наслідок.

(Обчислення коефіцієнтів Фур’є )

Нехай виконується рівність (3), тоді

, ,

(6)

Функціональний ряд називається рядом Фур’є (РФ) - періодичної інтегрованої на періоді функції , якщо коефіцієнти обчислюються за формулами (6). Числа називаються коефіцієнтами Фур’є функції .

Повністю аналогічно тригонометричному многочлену можна і РФ записати в комплексній формі:

, , (7)

де коефіцієнти Фур’є , обчислюються за формулами (5).