Lektsii_Rubleva_1 / Гл 09 Ряд та _нтеграл Фур'є / Пар 9-1 Тригонометричний ряд Фур'є
.doc
Глава 9
Ряд та інтеграл Фур’є
1. Тригонометричний ряд Фур’є
Функція називається - періодичною, якщо існує : та .
Теорема 1. |
(Про найменший період) |
|
Якщо , - періодична та відмінна від сталої, то вона має найменший додатний період. |
Теорема 2. |
(Про рівномірну неперервність) |
|
Якщо і - періодична, то вона рівномірно неперервна на . |
Теорема 3. |
(Про інтегрування по періоду) |
|
|
Якщо - періодична і , то і |
|
|
(1) |
Якщо функція - періодична, то функція є - періодичною, і навпаки, якщо - - періодична, то функція є - періодичною. Тому в подальшому будемо вивчати лише - періодичні функції.
Лінійна комбінація тригонометричних функцій (2)
називається тригонометричним многочленом.
Якщо скористатися формулою Ейлера, то можна тригонометричний многочлен переписати у іншому вигляді.
, (3)
де
, , (4)
Теорема 4. |
(Обчислення коефіцієнтів Фур’є ) |
|
|
Нехай виконується рівність (3), тоді |
|
|
, |
(5) |
Доведення. Виберемо деяке . Тоді: , що й треба було довести.
Теорема доведена.
Наслідок. |
(Обчислення коефіцієнтів Фур’є ) |
|
|
Нехай виконується рівність (3), тоді |
|
|
, , |
(6) |
Функціональний ряд називається рядом Фур’є (РФ) - періодичної інтегрованої на періоді функції , якщо коефіцієнти обчислюються за формулами (6). Числа називаються коефіцієнтами Фур’є функції .
Повністю аналогічно тригонометричному многочлену можна і РФ записати в комплексній формі:
, , (7)
де коефіцієнти Фур’є , обчислюються за формулами (5).