Lektsii_Rubleva_1 / Гл 01 Вступ до анал_зу - копия / ПП1-08-1

Глава 1

Вступ до аналізу

8. Неперервність функції

Функція називається неперервною в точці , якщо кожен раз, як тільки послідовність точок множини збігається до (означення неперервності за Гейне).

Якщо є граничною точкою множини , то функція неперервна в точці тоді і тільки тоді, коли . В ізольованій точці функція завжди неперервна.

Функція називається неперервною в точці , якщо : (означення неперервності за Коші).

Теорема 1.	(Зв’язок означення неперервності за Коші та Гейне).
	Означення неперервності функції в точці за Коші та Гейне еквівалентні.

Доведення очевидно слідує з еквівалентності поняття границі за Коші та Гейне (теорема 1.7.1).

Функція , яка не є неперервною в точці називається розривною в ній.

Приклад 1.	Дослідити на неперервність функцію Діріхле: .
	Легко довести, що вона розривна в кожній точці . Якщо , то вибираємо довільну послідовність , що збігається до , але тоді . Аналогічно доводиться для довільної ірраціональної точки.
Приклад 2.	Дослідити на неперервність функцію Рімана: .

Розривність в кожній раціональній точці крім очевидна, легко будується послідовність ірраціональних точок , що збігається до . Доведемо неперервність в кожній ірраціональній точці , використовуючи означення за Коші. розглянемо нерівність . Якщо розглянути деякий окіл точки , то кожна ірраціональна точка задовольняє цю нерівність. Розглянемо на інтервалі всі раціональні точки, знаменники яких менші за . Їх скінчена кількість. Нехай найближча з них до . Тоді шукане . Дійсно : ми маємо: якщо , а якщо знаменник числа число - задовольняє умові.

Теорема 2.	(Арифметичні дії з неперервними функціями).
	Нехай функції , неперервні в точці , тоді неперервні в цій точці також і функції та (якщо ).

Доведення безпосередньо слідує з аналогічної теореми про границі функції.

Теорема 3.	(Неперервність композиції функцій).
	Нехай неперервна в точці , а неперервна в точці . Якщо , то композиція неперервна в точці .

Доведення. Нехай при і . Тоді і при . Тобто

Теорема доведена.

Наслідок.	(Границя неперервної композиції).
	Нехай - гранична точка множини . Якщо і неперервна в точці , то .

Доведення. Якщо замість функції розглянути функцію , то неперервна в точці .

Наслідок доведено.

Функція називається неперервною зліва (справа) в точці , граничній для множини , якщо .

Нехай , - гранична точка множини . Якщо , то точка називається особливою для функції .

Точки розриву та особливі точки функції , які є граничними одночасно для обох множин та , поділяються на такі типи:

1)	і або не існує, або ; тоді точка називається точкою усувного розриву;
2)	, і називається точкою розриву першого роду; число називається стрибком функції у точці ;
3)	Всі інші точки називають точками розриву другого роду.
3.1)	Інколи випадок точки розриву другого роду , для якого називають точкою розриву другого роду типу полюсу.

Приклад 3.	Дослідити на неперервність та визначити тип точок розриву функції, що визначені на : ; ; ; .
	Всі вони в неперервні в усіх точках, крім особливої точки . В цій точці функції мають такі розриви: - 1-го роду, - 2-го роду, - усувний, - 2-го роду (типа полюс)

Функція називається неперервною на множині (на сегменті ), якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини (цього сегменту). Клас усіх функцій, неперервних на позначають символом .

Функція називається кусково-неперервною, якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках сегмента , за винятком скінченої множини точок, в кожній з яких має скінчені лівосторонню та правосторонню границю, і крім того має скінчені значення та .

Приклад 4.

Функції є кусково-неперервними на довільному .

Функція називається неспадною (зростаючою), якщо . Функція називається незростаючою (спадною), якщо . Усі розглянуті функції називаються монотонними. Зростаючі та спадні функції називаються строго монотонними.

Теорема 4.	(Односторонні границі монотонної функції).
	Кожна монотонна функція має односторонню границю в будь-якій граничній точці множини .

Доведення. Нехай - неспадна, - гранична точка , припустимо, що є граничною для множини . Позначимо . Так як , то . Якщо , то і : . Тоді : . Аналогічно для , розглядаємо . Так само все робиться, якщо є граничною точки множини , і якщо - незростаюча.

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Розриви монотонної функції).
	Монотонна функція може мати на лише розриви 1-го роду.
Наслідок 2.	(Неперервність монотонної функції).
	Монотонна функція неперервна скрізь, за винятком не більш ніж зліченої множини точок.

Доведення. Нехай - неспадна, - точка розриву . Тоді за теоремою і - скінчені (інакше нема монотонності). Так само . Якщо , то значення не можна задати без порушень монотонності. Тому .

Першій наслідок доведено.

Виберемо довільну точку . Далі зрозуміло, що різним точкам розриву відповідають різні раціональні точки, і якщо . Тобто множина точок розриву має потужність не більшу за потужність , тобто вона злічена.

Наслідки доведено.

Розглянемо побудову канторових множин . Спочатку . Розбиваємо сегмент на десять рівних частин, викидаємо з них, наприклад, сьому, як інтервал. Тобто проміжок . Далі, кожен з проміжків, що залишилися також ділимо на десять рівних частин і викидаємо сьому частину кожного і т.д. до нескінченності. Всі точки, що залишилися на називається канторовою множиною . Аналогічно будуємо множину , для цього ділимо сегмент на три рівні частини, викидаємо з них середню як інтервал, тобто проміжок . Далі, кожен з проміжків, що залишилися також ділимо на три рівні частини і викидаємо середні частини кожного і т.д. до нескінченності. Все що залишилося називається канторовою множиною .

Властивості.	(Канторових множин).
1)	Точки канторових множин поділяються на два типи. Краї викинутих проміжків (наприклад, для множини , для множини ) та всі інші точки. Визначити загальний вигляд інших точок множин та .
2)	Канторові множини – замкнені.
3)	Канторові множини мають потужність контінуум.
4)	Сумарна довжина викинутих інтервалів дорівнює одиниці, тобто канторові множини мають „міру нуль”.

Доведення. 1) Інші точки множин визначаються таким чином: у множини це точки десятковий розклад яких не має цифри , а множини - трійковий розклад яких не має цифри . 2) Для доведення другої треба розглянути її доповнення. Воно складається з об’єднання інтервалів, а тому є множиною відкритою, з чого все слідує. 3) Щодо потужності розглянемо усі числа вигляду , де . Діагональним методом неважко показати, що ця множина континуальна, але вона є підмножиною канторової множини, з чого слідує третя властивість.

4) На першому кроці викидаємо проміжок довжиною , тобто сумарна довжина складає ; на другому кроці викидаємо проміжки довжиною , тобто сумарна довжина складає ;…; на -му кроці викидаємо проміжків довжиною , тобто сумарна довжина складає , а тому	.
	Рис. 1
усього викинута довжина складає:

Властивості доведені.

Побудуємо тепер функцію базову функцію за правилом: на першому кроці при побудові канторової множини викидається один інтервал, покладемо на ньому функцію рівною ; на наступному кроці викидаються два інтервали, покладемо в них зліва направо значення ; на наступному кроці зліва направо покладемо значення , і т.д. до нескінченності. Покладемо також , таким чином базова функція визначена на викинутих інтервалах, а тепер її треба до визначити в точках касторової множини , що робиться за таким правилом: