Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 06 Ряди / Пар 6-7 Ознаки р_вном_рної зб_жност_

2

Глава 6

Ряди

6.7. Достатні ознаки рівномірної збіжності ФР

Нехай в цьому розділі виконується умова: всі функції, що розглядаються визначені на спільній множині .

ФР називається нормально збіжним, якщо ряд - збіжний.

Теорема 1.	(Зв’язок рівномірної та нормальної збіжності)
	Якщо ряд нормально збіжний, то він є рівномірно збіжним.

Доведення. Використаємо критерій Коші: із збіжності ряду можемо записати: : , а тому ряд задовольняє рівномірну умову Коші, а тому він є рівномірно збіжний.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Ознака Вейєрштрасса)
	Нехай для ФР існує така числова послідовність , що ряд - абсолютно збіжний та , тоді ряд збігається рівномірно.

Доведення. З відповідної теореми про мажорантну ознаку збіжності слідує, що ряд - збіжний, а тому ряд - рівномірно збіжний.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Рівномірна збіжність рядів, пов’язаних перетворенням Абеля)
	Якщо ФП на , то ФР та збігаються рівномірно чи не збігаються рівномірно одночасно.

З тотожності Абеля можемо записати:

, а далі з лінійності рівномірної границі все і слідує.

Теорема доведена.

Теорема 3.	(Ознака Діріхле-Абеля рівномірної збіжності ФР)
	Якщо послідовність монотонна та
		(1)
	То ряд збігається на рівномірно.

запишемо:

, а далі залишається використати критерій Коші для рівномірної збіжності ФР.

Теорема доведена.

Теорема 4.	(Ознака Абеля рівномірної збіжності ФР)
	Нехай послідовність монотонна. Якщо ФР і , то ряд на .

Доведення. Нехай . Покладемо . За умовами теореми . Оскільки , та , то ряд з ознаки Абеля-Діріхле ряд збігається рівномірно. З оцінки слідує рівномірна збіжність до нуля ФП , то з теореми 2 про рівнозбіжність рядів, пов’язаних перетворенням Абеля, рівномірно збігається також і ФР .

Ознака доведена.

Теорема 5.	(Ознака Діріхле рівномірної збіжності ФР)
	Нехай послідовність монотонна. Якщо ФР і , то ряд на .

Покладемо . Оскільки та , то з теореми 3 збігається ряд , крім того з умови слідує, що ФП , а тому з теореми 2 рівномірно збігається також ряд: , що й треба було довести.

Теорема доведена.