Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Задач_ 11-2 Посл_довност_ вим_рних функц_й

.doc
Скачиваний:
27
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
546.3 Кб
Скачать

5

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

2. Послідовності вимірних функцій

Теорія

Деяка властивість виконується -майже всюди (майже всюди, майже скрізь), якщо вона справджується на множині , де .

Усі функції, які будуть вивчатися в подальшому вважаються майже всюди скінченими, тобто .

Дві функції називаються еквівалентними, якщо вони майже всюди співпадають. Позначатимемо цей факт так: ~.

Теорема 1.

(Відношення еквівалентності)

Відношення, що визначено вище є відношенням еквівалентності.

Послідовність ВФ рівномірно збігається до ВФ .

Послідовність ВФ поточково збігається до ВФ .

Послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ .

Послідовність скінчених ВФ називається збіжною за мірою до ВФ , якщо .

Лема 1.

(Єдність границі за мірою)

Якщо - ВФ та . Тоді : .

Теорема 2.

(Єдність границі за мірою)

Якщо , , то .

Теорема 3.

(Лебега)

Якщо послідовність ВФ , то .

Зауваження.

Зворотне твердження до теореми Лебега не має місця, тобто існують послідовності вимірних функцій, що збігаються за мірою, але не збігаються майже всюди.

Теорема 4.

(Рісса)

Нехай послідовність скінчених ВФ збігається за мірою до ВФ . Тоді з неї можна виділити таку підпослідовність , для якої .

Зауваження 1.

Теорема Рісса припускає узагальнення на випадок скінченої міри.

Зауваження 2.

Теорема Лебега не припускає узагальнення на випадок скінченої міри.

Теорема 5.

(Єгорова)

Нехай послідовність ВФ збігається майже всюди до ВФ . Тоді - вимірна множина, така що та на збігається до рівномірно.

Послідовність ВФ називається фундаментальною за мірою , якщо .

Задачі

  1. Довести, що:

а) якщо - повна міра, то якщо:

1) ~, та - ВФ, то й - ВФ;

2) , - ВФ, то - ВФ;

б) на множині усіх вимірних функцій відношення ”~” є відношенням еквівалентності;

в) будь-яка вимірна за Лебегом функція еквівалентна деякій борелевські функції;

г) ~ та , то ;

д) якщо послідовність вимірних за Лебегом функцій така, що ~, то ~ і ~, де:

1) ;

2) ;

е) якщо :

1) то ;

2) і , то ;

3) і , то ;

4) ;

5) ;

є) якщо - скінчена міра та , , то:

1) ;

2) ;

3) , при умові, що ~;

4) ;

5) ;

6) ;

7) , при умові, що ;

ж) якщо - скінчена міра, то

1) ;

2) ;

з) для послідовності ВФ та ВФ , якщо:

1) виконується умова ;

2) : ;

и) якщо , то вона фундаментальна за мірою тоді і тільки тоді, коли ;

і) якщо , то - фундаментальна за мірою;

ї) якщо - послідовність вимірних майже всюди скінчених функцій фундаментальна за мірою , тоді існує скінчена ВФ така, що ;

к) якщо - скінчена міра, то будь-яка підпослідовність містить в собі підпослідовність, що збігається до майже всюди;

л) якщо послідовностей ВФ , , а , то ;

м) якщо для скінченої міри послідовність , то існує послідовність множин A така, що , а також на множині ;

н) якщо на множині , а також , то ;

о) для скінченої міри на :

1) ;

2) ;

п) якщо для послідовності ВФ та ВФ справджується, що , то на ;

р) якщо - скінчена міра на , та для послідовності ВФ - виконуються умови , , то ;

с) якщо - послідовності ВФ, - скінчена міра, , , то для ВФ виконуються умови:

1) якщо , то ;

2) - вимірної множини та ;

3) якщо , то ;

4) якщо , то ;

5) якщо та , то ;

6) ;

  1. З’ясувати:

а) при яких умовах ~, якщо - дискретна міра;

б) що означає збіжність в просторі , де ;

в) які з тверджень пункту 1 є) залишаються чинними, якщо ;

г) як переформулюється теорема Єгорова на випадок послідовності функцій, що збігається до майже всюди;

  1. Побудувати:

а) на вимірну за Лебегом функцію, усі еквівалентні якій функції будуть розривними в кожній точці ;

б) для множини та множину на якій буде рівномірною збіжність послідовності ВФ , якщо:

1) ;

2) ;

3) ;

в) вимірну за Лебегом на функцію, що не є еквівалентною жодній неперервній на функції;

  1. Дослідити на збіжність послідовність ВФ на множині до деякої функції (тобто, з’ясувати, чи є рівномірна, поточкова збіжність, збіжність майже всюди чи за мірою), де:

а) та дорівнює:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) , де , , , а також знаходиться за правилом ;

6) , де - -те раціональне число проміжку при довільній нумерації;

б) та:

1) ;

  1. Перевірити твердження:

а) на випадок скінченої міри припускає узагальнення:

1) теорема Рісса;

2) теорема Лебега;

3) теорема Єгорова;

б) якщо для скінченої міри , , а також , то ;

в) якщо послідовність ВФ задовольняє умови та , то ;

г) якщо - скінчена дискретна міра, то ;

д) якщо - скінчена міра, то ;

е) якщо , та на множині послідовності ВФ , , то ;

ж) послідовність функцій з задачі 4а)5) не збігається до тотожного нуля в жодній точці проміжку ;

  1. Показати:

а) за означенням, що з умови на для ВФ слідує, що:

1) ;

2) ;

  1. Описати:

а) в просторі на алгебрі вимірних множин з мірою збіжність за мірою послідовностей ВФ;