Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Задач_ 11-1 Вим_рн_ функц_ї

3

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

1. Вимірні функції

Теорія

Простір з мірою – це вимірний простір A, в якому на алгебрі A визначена міра . Його позначають трійкою A, але частіше ми його будемо позначати як і раніше буквою . В подальшому ми будемо вивчати функції, що визначені на вимірному просторі.

Нехай A та A₁ - вимірні простори, нехай задана функція . Її називають вимірною функцією (ВФ), якщо прообраз будь-якої A₁-вимірної множини A-вимірний, тобто A₁ її прообраз A.

Зрозуміло, що нас будуть цікавити в основному числові вимірні функції, тому в подальшому будемо вважати, що . Будемо вважати в вимірними борелевські множини. Тоді вимірність функції означає, що для будь-якої борелевської множини його прообраз вимірний, тобто A. Якщо функція визначена на алгебрі борелевських множин B, то вона називається вимірною за Борелем, а якщо на алгебрі лебегівських множин L - вимірною за Лебегом.

Позначимо через множину , аналогічно для інших типів нерівностей.

Теорема 1.	(Критерій вимірності функції)
	Функція - вимірна тоді і тільки тоді, коли множина - вимірна.

Теорема 2.	(Еквівалентний критерій вимірності функцій)
	Теорема 1 залишиться чинною, якщо множину замінити на будь-яку з множин , чи .

Лема 1.	(Вимірність характеристичної функції)
	Множина - вимірна - ВФ.

Теорема 3.	(Вимірність неперервних функцій)
	Неперервна функція вимірна за Борелем.

Теорема 4.	(Вимірність композиції)
	Якщо ВФ. Тоді - ВФ за Борелем їх композиція - ВФ.

Зауваження.

Для функцій вимірних за Лебегом твердження не вірне.

Теорема 5.	(Арифметичні дії з ВФ)
	Якщо - ВФ, , то наступні функції вимірні: , , , , , , (якщо ), , .

Теорема 6.	(Вимірність границі)
	Нехай - ВФ, , тоді - ВФ.

Задачі

1. Довести, що:

а) якщо - ВФ, то

1) - ВФ, де - вимірна множина;

2) функція - ВФ;

б) якщо - вимірні множини, такі що , то функція - ВФ;

в) функція є вимірною за Борелем, якщо:

1) вона монотонна на всій дійсній осі;

2) ;

г) - ВФ

1) вимірна ;

2) - ВФ;

3) - ВФ;

4) функції , є ВФ;

5) вимірними є множини , для сукупності значень , з деякої всюди щільної множини точок;

д) - ВФ, - неперервна на . Довести, що - ВФ;

е) - ВФ, то вимірними є множини:

1) ;

2) ;

3) ;

є) якщо - диференційована на , то - ВФ;

ж) - послідовність ВФ, то вимірними є функції:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

з) - послідовність ВФ, то множина тих точок , де є ВФ;

и) якщо має скінчену кількість точок розриву, то вона є ВФ;

2. Описати:

а) сукупність усіх вимірних функцій , якщо:

1) A;

2) A;

3. Перевірити твердження:

а) - ВФ

1) - ВФ;

2) - ВФ;

3) - ВФ;

4) - ВФ;

5) - ВФ;

б) - ВФ функція - ВФ;

в) для деякої функція , що визначається як кількість коренів рівняння , є ВФ за Борелем;

г) якщо - більш ніж злічена сукупність ВФ , то обов’язково є ВФ:

1) ;

2) ;

д) якщо - довільна сукупність неперервних на функцій, то обов’язково є ВФ:

1) ;

2) ;

е) якщо - ВФ на множині , - довільна вимірна підмножина дійсної осі, тоді - обов’язково вимірна множина;

є) якщо - ВФ на множині , - довільна вимірна підмножина , тоді - обов’язково вимірна множина;

ж) якщо - ВФ на множині , - множина її значень, тоді - ВФ на , якщо:

1) ;

2) - ВФ на ;

з) якщо - ВФ на множинах , тоді вона також є ВФ на множинах:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

и) ВФ на множині є функція , де:

1) ;

2) , де - десятковий запис числа ;