Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 11 Вим_рн_ функц_ї _нтеграл Лебега / Пар 11-10 Теорема Фуб_н_

4

Глава 11

Вимірні функції. Інтеграл Лебега

10. Теорема Фубіні

Нехай L R - вимірні простори. В кожному з цих просторів визначені відповідні алгебри вимірних множин. Визначимо в просторі структуру вимірного простору. Нехай L, R – вимірні множини у відповідних просторах. Прямокутником зі сторонами і назвемо прямий добуток:

. Позначимо через L R алгебру підмножин , що породжується системою таких прямокутників. Ця алгебра взагалі кажучи не є алгеброю. Як легко побачити ця алгебра складається з всіляких скінчених об’єднань попарно неперетинаючихся диз’юнктних прямокутників з вимірними сторонами. алгебру, що породжується системою таких прямокутників позначимо L R. Назвемо її прямим добутком алгебр L , R , а множини що входять до цієї алгебри – вимірними.

Нехай - довільна підмножина прямого добутку , - довільна точка. Перерізом множини за допомогою точки , або перерізом множини називається множина , що визначається рівністю: . Аналогічно для фіксованого визначається переріз .

Лема 1.	(Вимірність перерізів множин)
	Кожний переріз вимірної множини – вимірна множина.

Позначимо через W систему усіх множин , усі перерізи яких вимірні. Тоді W - алгебра. Це слідує з того, що , , . Нехай тепер - прямокутник з вимірними сторонами, тоді - це або , або порожня множина, тобто - вимірна при будь-якому . Це означає, що W . оскільки L R - найменша алгебра, що містить усі прямокутники з вимірними сторонами, то L R W .

Нехай на множині задана функція та - фіксована точка. Перерізом заданої функції за допомогою точки , або перерізом, називається функція , що визначається на множині рівністю: , . Аналогічно визначається переріз .

Лема 2.	(Вимірність перерізів функцій)
	Кожний переріз ВФ є ВФ.

Нехай L та R - простори з скінченими мірами. Покажемо, як можна визначити міру в прямому добутку L R . Цю міру природно примусити, щоб виконувалися умова - вимірного прямокутника . Покажемо, що такою умовою міра визначається однозначно. Для її побудови можна її спочатку визначити на алгебрі L R, а далі продовжити на алгебру L R . але є шлях простіший.

Теорема 1.	(Зв’язок мір при інтегруванні)
	Нехай L та R - простори з скінченими мірами, - будь-яка вимірна підмножина з . Тоді функції , що задаються відповідно на рівностями , вимірні та при цьому .

Теорема 2.	(Визначення міри на добутку)
	Нехай L та R - простори з скінченими мірами, - будь-яка вимірна підмножина з . Тоді функція множин , що визначається рівністю: є скінченою мірою, при цьому джля будь-якого вимірного прямокутника . Останньою умовою функція визначається однозначно.

Легко зрозуміти, що останні теореми справджуються для скінчених мір.

Вище визначена міра називається добутком мір та позначається .

Нехай L та R - простори з скінченими мірами. Тоді, як показано вище, на прямому добутку просторів L R визначена скінчена міра . Розглянемо функцію , для якої має зміст інтеграл по мірі :

. (1)

Інтеграл (1) називається подвійним.

Нехай тепер функція така, що для неї існує інтеграл , де - переріз функції , причому інтеграл також має зміст. В такому випадку покладемо

. (2)

Аналогічно, якщо мають зміст інтеграли та , то можемо покласти

. (3)

Інтеграли (2),(3) називаються повторними. При яких умовах має місце рівність?

Теорема 1.	(Тонеллі)
	Якщо - вимірна на множині невід’ємна функція, то
		(4)

Доведення. Нехай , де L R . тоді . Крім того, , аналогічно . З останньої теореми

, , тобто в такому випадку рівність доведена.

Нехай тепер - довільна невід’ємна ВФ. Тоді існує неспадна послідовність невід’ємних простих ВФ , що збігається до в кожній точці. Оскільки проста функція – це лінійна комбінація індикаторів вимірних множин, то для кожної функції з цієї послідовності твердження теореми вже доведено. При цьому внаслідок теореми Леві:

. (5)

Обчислимо іншим способом ліву частину цієї рівності. Оскільки для твердження теореми має місце, то

, (6)

де - невід’ємні ВФ.

Оскільки послідовність - при кожному фіксованому -неспадна та функції - вимірні відносно міри як перерізи ВФ, то за теоремою Леві:

, . (7)

Звідси, зокрема слідує вимірність функції . Знову за теоремою Леві маємо:

, з урахуванням рівностей (6),(7) , порівнюючи останнє з (5), одержимо: . Аналогічно доводиться й друга рівність.

Теорема доведена.

Теорема 2.	(Фубіні)
	Якщо - сумовна функція на множині , то майже усі її перерізи сумовні. При цьому функції , що визначаються рівностями , сумовні та
		(8)

Доведення. Нехай невід’ємна. Тоді рівність (8) слідує з попередньої теореми. Оскільки - сумовна, то ліва її частина скінчена, тому й скінчені обидва повторних інтеграла, тобто інтеграли . Це означає, що функції сумовні, а тому вони майже всюди скінченні, але тоді і майже усі перерізи функції сумовані. Таким чином для невід’ємної функції ус доведено.

Якщо - сумована функція довільного знаку, то подамо її у вигляді . Сумованість усієї функції еквівалентна за означенням сумованості обох функцій . Але оскільки для цих функцій твердження теореми мають місце, то вони мають і для усієї функції .

Теорема доведена.

Зауваження 1.

Формула (8) легко переноситься на випадок інтегрування не по усьому простору , а по довільній вимірній множині .

Зауваження 2.

Умова сумованості функції є суттєвою, бо з існування та навіть рівності повторних інтегралів не слідує її сумованість.

Побудови двох останніх розділів легко переносяться на випадок довільної скінченої кількості просторів з мірами. Найпростіше це робиться методом математичної індукції.